Частотные характеристики систем автоматического управления

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Частотные характеристики описывают вынужденные колебания на выходе САУ, устанавливающиеся в режиме стационарных колебаний после подачи гармонического воздействия на вход САУ.

Если воздействие на вход САУ имеет вид , где A_вх – амплитуда, а – частота этого воздействия, на выходе САУ в установившемся режиме (после завершения переходного процесса и установления стационарного режима колебаний) также будет получена гармоническая функция вида: , отличающаяся от входной амплитудой и фазой. Ослабление или усиление амплитуды выходной величины по сравнению с входной A_вых/A_вх и сдвиг фазы jне являются постоянными для конкретной САУ, а зависят от частоты входного воздействия w: для каждой частоты входного сигнала будет своя амплитуда выходного сигнала и свой сдвиг фазы.

На рис. 62 показаны зависимости x(t) и y(t) произвольной САУ в режиме стационарных колебаний. Видно, что управляемая величина САУ y(t) запаздывает, отстает от x(t) на величину t. Величину запаздывания определяют между соответствующими точками синусоид: например, между вершинами, или, как показано на рис. 62, между точками пересечения графиков с осью t. Напомним, что сдвиг фазы j в градусах определяется по величине задержки t как:

где T = 1/w – период гармонического сигнала. Сдвиг фазы j имеет знак «минус», если выходная величина САУ y(t) отстает от входной x(t), и знак «плюс», если y(t) опережает x(t).

Рис. 62

5.1. Частотная передаточная функция и амплитудно-фазовая
характеристика САУ

Для анализа частотных характеристик САУ используют частотную передаточную функцию: отношение изображений по Фурье выходной и входной величин САУ при нулевых начальных условиях.

Изображением по Фурье произвольной функции времени f(t), называемой оригиналом, является ее комплексное изображение вида:

где t – время; w – частота; j – мнимая единица.

Изображения по Фурье гармонических входной и выходной величин САУ имеют вид:

Частотная передаточная функция САУ определяется как отношение y(jw) к x(jw):

Поскольку, как уже отмечалось, отношение амплитуд A_вых/A_вх и сдвиг фазы jне являются постоянными, а зависят от частоты w, частотную передаточную функцию САУ записывают в виде:

(10)

где А(w) – модуль или амплитуда частотной передаточной функции, представляет собой отношение A_вых/A_вх для конкретного значения частоты – коэффициент усиления (ослабления) САУ на частоте w; j(w) – аргумент или фаза частотной передаточной функции, показывает сдвиг фазы выходной гармоники по отношению к входной на частоте w. Если на какой-то частоте w значение А(w) > 1, то САУ усиливает входной сигнал этой частоты, если А(w) < 1, то САУ сигнал ослабляет.

Частотную передаточную функцию САУ как функцию комплексной переменной можно записать не только в полярной системе координат, но и в декартовой:

(11)

где Р(w) – действительная, а jQ(w) – мнимая часть частотной передаточной функции.

Частотную передаточную функцию легко получить из передаточной функции подстановкой jw вместо р:

График частотной передаточной функции в комплексной плоскости, представляющий собой геометрическое место концов векторов (годограф), полученных при различных значениях частоты , называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ) САУ. АФХ строят для изменения частоты от 0 до + (рис. 63).

Рис. 63

На графике АФХ, показанном на рис. 63, отмечена точка, соответствующая некоторому значению частоты входного сигнала . Величину усиления (ослабления) амплитуды входного сигнала этой частоты на выходе САУ определяет длина радиус-вектора А(w), а величину фазового сдвига – угол j(w). Величину j(w) отсчитывают против часовой стрелки, т.е. в примере на рис. 63 сдвиг фазы j(w) для частоты w будет отрицательным и выходная величина САУ y(t) будет отставать от входной x(t).

ПРИМЕР построения АФХ апериодического звена первого порядка.

Рассмотрим пример АФХ конкретной САУ (рис. 64), частотная передаточная функция которой имеет вид:

Рис. 64

Точка, отмеченная на АФХ (см. рис. 64) соответствует частоте w = 0,1, т.е. ее координаты в декартовой системе в соответствии с (11) имеют вид:

Усиление сигнала частоты w = 0,1 определяется по длине радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку АФХ, соответствующую частоте (см. рис. 64), т.е., с учетом (11), амплитуда сигнала заданной частоты на выходе САУ будет в 13,814 раза больше входной амплитуды:

Сдвиг фазы выходного сигнала частоты w = 0,1 относительно входного определяется по углу поворота относительно действительной оси радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку АФХ, соответствующую частоте (см. рис. 64). Рассчитанный с использованием (11) сдвиг фазы составляет –28°, т.е. на выходе САУ сигнал заданной частоты будет отставать от входного на эту величину:

Найденный сдвиг фазы соответствует отставанию выходного сигнала по времени на 0,78 с:

С учетом найденных выше значений для амплитуды входного сигнала x(t) частоты w = 0,1 равной 1 на выходе САУ y(t) будет иметь вид, показанный на рис. 65.

Для сравнения рассмотрим частотные характеристики той же САУ для частоты w = 1 (рис. 66):

Рис. 65

Рис. 66

Как следует из найденных выше значений, сигнал частоты w = 1 на выходе САУ будет усилен по амплитуде только в 2,121 раза и будет опережать входной по фазе на 45°, что соответствует опережению по времени на 0,125 с. Т.о., при единичной амплитуде x(t), y(t) будет иметь вид, показанный на рис. 67.

Рис. 67

Важно понимать, что опережение по времени выходного сигнала y(t) по сравнению с входным x(t) в стационарном режиме колебаний не означает, что сигнал на выходе САУ появляется раньше входного – такого быть не может, система всегда вносит некоторое запаздывание в осуществление управления. Наличие опережения говорит о том, что после завершения переходного процесса на выходе САУ устанавливается режим стационарных колебаний, в котором некоторая точка синусоиды y(t), например максимум как на рис. 67, сдвинута влево относительно такой же точки синусоиды х(t).

ПРИМЕРЫ переходных процессов САУ, заканчивающихся возникновением фазовых сдвигов разного знака в режиме стационарных колебаний.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 816; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!