Безынерционное звено с чистым запаздыванием

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Представим себе трубу, через которую вентилятор прокачивает воздух. В начале трубы установлен нагреватель, а температура воздуха измеряется датчиком, чувствительный элемент которого установлен в точке А (рис. 48).

Рис. 48

Очевидно, что изменение температуры воздуха датчик будет «обнаруживать» не сразу, а через время t = L/v, где L – расстояние от нагревателя до точки А, м; v – скорость потока воздуха, м/с.

Аналогичная ситуация имеет место для транспортера, подающего деталь от бункерного загрузочного устройства к весам. Из рис. 49 видно, что деталь будет взвешена не в момент выхода из бункера, а через время t = L/v, где L – расстояние от бункера до весов, м; v – скорость движения транспортера, м/с.

Рис. 49

В рассмотренных случаях говорят, что в системе имеет место транспортное запаздывание на величину t.

Безынерционное звено с чистым запаздыванием описывается уравнением вида:

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) звена; t – время запаздывания.

Переходная характеристика звена с чистым запаздыванием представляет собой единичную ступеньку, усиленную в k раз и сдвинутую вправо по оси времени на величину t.

Изображение по Лапласу выходной величины вычисляется с использованием теоремы о смещении аргумента:

откуда передаточная функция звена с чистым запаздыванием:

Примерами звеньев с чистым запаздыванием, помимо рассмотренных выше, являются линия дальней электропередачи, трубопровод гидравлической системы, вычислительное запаздывание в управляющем компьютере (время, необходимое для расчета нового управляющего сигнала после получения всех исходных данных) и т.д. [1–3, 13].

Передаточные функции соединений звеньев. Преобразования структурных схем САУ

Как уже отмечалось, любая САУ может быть представлена комбинацией динамических звеньев с типовыми передаточными функциями. Структура САУ изображается в виде схемы, состоящей из обозначений отдельных, определенным образом связанных между собой звеньев, динамические свойства которых определяются их передаточными функциями. Звенья соединяются между собой линиями связей, стрелки которых показывают направление прохождения сигналов. Структурные схемы также могут содержать элементы сравнения или суммирования, и разветвления сигналов, обозначаемые точками. Линия связи, отходящие от точки разветвления, несут одни и те же сигналы. При известных передаточных функциях звеньев передаточная функция САУ определяется на основании ее структурной схемы с учетом типов соединений звеньев.

Передаточная функция последовательного соединения (рис. 50) равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

Рис. 50

При параллельном соединении (рис. 51–а) передаточная функция определяется как сумма передаточных функций отдельных звеньев:

Заметим, что при параллельном соединении малого количества звеньев обозначение суммирующего элемента (см. рис. 51–а) в структурных схемах САУ обычно опускают. Так, параллельное соединение двух звеньев обозначается, как показано на рис. 51–б.

Рис. 51

а)

б)

Если по одной из цепей параллельного соединения сигнал проходит без преобразования, т.е. элемент этой цепи представляет собой усилительное безынерционное звено с передаточной функцией W(p) = 1, то цепь называют единичной, а обозначение элемента в линии связи опускают. На рис. 52–а, б показаны идентичные параллельные соединения, передаточная функция которых W(p) = W₁(p) + 1.

Рис. 52

а)

б)

Соединение с отрицательной обратной связью показано на рис. 53–а. Элемент сравнения в этой схеме осуществляет вычитание выходного сигнала звена 2 из сигнала x(t). Говорят, что звено 2 включено в отрицательную обратную связь к звену 1. Передаточная функция этого соединения определяется следующим образом:

(3)

Рис. 53

а)

б)

Если сигнал обратной связи подается на элемент сравнения без преобразования, т.е. элемент, включенный в обратную связь, представляет собой усилительное безынерционное звено с передаточной функцией W(p) = 1, то такую обратную связь называют единичной. В этом случае обозначение звена в линии связи опускают. На рис. 53–б показано звено 1, охваченное единичной отрицательной обратной связью. Это соединение соответствует варианту, показанному на рис. 53–а, для которого W₂(p) = 1, следовательно, по формуле (3), его передаточная функция равна:

Варианты обозначений соединение с положительной обратной связью показаны на рис. 54–а, б. Элемент сравнения в этой схеме осуществляет сложение сигнала x(t) и выходного сигнала звена 2. Говорят, что звено 2 включено в положительную обратную связь к звену 1. Передаточная функция этого соединения определяется следующим образом:

(4)

Положительная обратная связь, как и отрицательная, тоже может быть единичной.

Важно! Отрицательная обратная связь используется в САУ значительно чаще положительной. Поэтому, по умолчанию, если тип обратной связи не указан, то она является отрицательной.

Также обратите внимание на то, что знак в знаменателях формул (3) и (4) противоположен типу обратной связи: «плюс» соответствует отрицательной обратной связи, а «минус» – положительной.

Рис. 54

а)

б)

В тех случаях, когда структурная схема САУ оказывается сложной, для определения передаточной функции могут потребоваться эквивалентные преобразования схемы. Основными способами преобразований схем являются переносы узлов и элементов сравнения (сумматоров). Для обеспечения эквивалентности, т.е. для того, чтобы передаточная функция САУ в результате преобразований не изменялась, переносы осуществляют по определенным правилам, с добавлением в схему звеньев, компенсирующих изменения передаточной функции в результате переноса.

Пример схемы, требующей переноса узлов для определения передаточной функции по типам соединений звеньев, показан на рис. 55. Звено 2 охвачено одновременно двумя обратными связями, причем сигналы для цепей этих обратных связей формируются в разных узлах схемы. Без преобразования схемы определить передаточную функцию невозможно.

Рис. 55

Для вывода правила переноса узла схемы по направлению действия сигнала рассмотрим простую схему, показанную на рис. 56. Эта схема имеет очевидные типы связей: последовательное соединение звеньев 1 и 2 охвачено единичной отрицательной обратной связью и к этому узлу последовательно присоединено звено 3, следовательно, передаточная функция схемы имеет вид:

Рис. 56

Рассмотрим возможность переноса узла А как показано на рис. 56. Мы не должны нарушать условие эквивалентности преобразований: в результате переноса передаточная функция исходной схемы не должна измениться. Для этого в цепь обратной связи следует добавить звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции третьего звена:

Схема после переноса узла А имеет вид последовательного соединения звеньев 1, 2и 3, в обратную связь к которому включено добавленное звено (рис. 57). Передаточная функция итоговой схемы имеет вид:

Передаточные функции исходной схемы и схемы после переноса узла Аравны, следовательно схемы, показанные на рис. 56 и рис. 57, при условии эквивалентны.

Рис. 57

На основании рассмотренного примера можно сформулировать правило переноса узла по направлению действия сигнала: при переносе узла схемы через звено с передаточной функцией W(p) по направлению действия сигнала (с входа на выход) в цепь, исходящую из узла добавляется звено с обратной передаточной функцией . Заметим, что с использованием приведенного правила переносить можно не только узлы обратных связей, но и узлы параллельных соединений звеньев.

Аналогично можно вывести правило переноса узла против направления действия сигнала: при переносе узла схемы через звено с передаточной функцией W(p) против направления действия сигнала (с выхода на вход) в цепь, исходящую из узла добавляется звено с такой же передаточной функцией . Это правило также применимо и к параллельным соединениям.

В Приложении 2 в дополнение к рассмотренным приведены правила переноса элемента сравнения (сумматора) через звено по направлению действия сигнала (с входа звена на выход) и наоборот [1, 7, 13].

Вернемся к схеме САУ, показанной на рис. 55. В данной схеме имеется обратная связь, соединяющая выход схемы со входом: по этой связи выходной сигнал y(t) подается на первый элемент сравнения, производящий вычитание x(t) – y(t). Такая обратная связь называется общей, а схема САУ – замкнутой. Схема САУ без учета общей обратной связи называется разомкнутой.

Разомкнутая схема САУ, показанной на рис. 55, приведена на рис.58. Определим ее передаточную функцию с применением эквивалентных преобразований (переноса узлов). В первую очередь рассмотрим очевидные соединения звеньев: звенья 3 и 4 соединены параллельно, т.е. передаточная функция этого блока равна сумме передаточных функций этих звеньев:

(5)

Рис. 58

Изобразим схему разомкнутой САУ как показано на рис. 59 и для дальнейшего определения передаточной функции осуществим эквивалентное преобразование переносом узла по направлению действия сигнала через блок 3-4 с добавлением с цепь обратной связи звена с передаточной функцией:

(6)

Рис. 59

Схема разомкнутой САУ после переноса узла имеет вид, показанный на рис. 60. Определим передаточную функцию выделенного блока. Блок
2-3-4 представляет собой последовательное соединение звена 2 с блоком
3-4, охваченное единичной обратной связью, следовательно:

(7)

Рис. 60

Перерисуем схему разомкнутой САУ как показано на рис. 61. Окончательный результат эквивалентных преобразований схемы имеет вид последовательно соединения звена 1 с блоком 2-3-4, с включенным в обратную связь к этому соединению добавленным звеном, следовательно:

(8)

Рис. 61

Окончательный вид передаточной функции разомкнутой САУ получим подстановкой (5), (6) и (7) в (8):

(9)

Передаточная функция замкнутой САУ, т.е. САУ с учетом общей единичной обратной связи (см. рис. 55), с использованием найденной передаточной функции разомкнутой системы определяется следующим образом:

ПРИМЕРЫ определения передаточной функции САУ по структурной схеме и структуры САУ по передаточной функции.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 791; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!