Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
Рассматриваем случай трехмерного пространства 
. Пусть 
-- вектор. Будем считать, что 
. Его координаты представимы в виде направляющих косинусов 
, где 
-- углы между вектором и соответствующими осями. Функция 
определена в окрестности точки 
. Из точки 
проведем прямую с направляющим вектором . Выберем на этой прямой точку на расстоянии 
от . Приращением функции 
вдоль вектора называется величина
где, 
-- приращение аргумента вдоль оси . Если существует предел
то он называется производной функции по направлению в точке . Это -- мгновенная скорость изменения функции по направлению .
Замечание 1. Градиентом функции ( 
) будем называть вектор из частных производных функции. Частная производная -- это предел отношения приращения функции к приращению аргумента только по одной переменной.
Пусть 
-- точка на построенной прямой, тогда
И в новой записи (производная сложной функции):
Пусть 
. Тогда 
Но, исходя из того, что производная по направлению -- проекции градиента на направление , получим 
. Значит, 
-- наибольшая, если совпадает с направлением градиента.
Определение 1. Градиент -- вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Для вычисления дифференциалов высших порядков используется следующая символическая формула:
|
|
|
Пример 8. z=y•lnx. Найти 
Найдем частные производные 
. Дифференцируя повторно, получим
Пример 9. z=x2•y. Найти d3z
Найдем частные производные
Подставив найденные частные производные в формулу для вычисления d3z, получим:
d3z=0•dx3+3•2•dx2dy+3•0•dx2dy+0•dy3=6dx2dy (цифры идущие после букв это степеньни)
Неявные функции
Неявные функции
функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение
x2 + y2 - 1 = 0
задаёт Н. ф.
y = у (х),
соотношения
x = ρcosφsinϑ, y = ρsinφsinϑ, z = ρcosϑ
задают Н. ф.:
ρ = ρ(x, у, z), φ = φ(x, y, z), ϑ = ϑ(х, у, z).
В простейших случаях соотношения, задающие Н. ф., могут быть разрешены в классе элементарных функций (См. Элементарные функции), т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:
а во втором:
Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. Н. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт Н. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x2 + y2 + 1 = 0 не задаёт Н. ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же exy = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Н. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F (x, y) обращается в нуль при паре значений х = x0, у = y0 [F (x0, y0) ≠ 0] и дифференцируема в окрестности точки (x0, y0), причём F’x (х, у) и F’y (х, у) непрерывны в этой окрестности и F’y (x0, y0) ≠ 0, то в достаточно малой окрестности точки x0 существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у = у (х), удовлетворяющая соотношению F (x, y) = 0 и обращающаяся в y0 при x = x0; при этом y'(x) = —F’x (x, y)/F’y (x, у).
|
|
|
Для приближённого вычисления значений Н. ф. вблизи точки x0, где её значение y0 уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F (x, у) — аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестности точки (x0, y0) в сходящийся двойной степенной ряд] и F’y (x0, y0) ≠ 0, то Н. ф., заданная соотношением F (x, y) = 0, может быть получена в виде степенного ряда
сходящегося в некоторой окрестности точки х = х0. Коэффициенты ck, k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F (x, у) = 0, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Н. ф. задана соотношением
|
|
|
y5 + xy - 1 = 0, x0 = 0, y0 = 1,
то 
и 
откуда
c0 = 1, c1 = —1/5c0-3, c2 = —2c12c0-1 — 1/5c1c0-4 = —1/25 и т.д.
Если соотношение F (x, у) = 0 может быть представлено в виде у = а + хφ(у), где φ(y) — аналитическая функция, то Н. ф. у = у (х), заданная этим соотношением и принимающая значение а при х = 0, разлагается в ряд Лагранжа
сходящийся в некоторой окрестности точки х = 0. Например, из соотношения у = а + xsiny (так называемое Кеплера уравнение) можно получить:
Вычисление значений Н. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 598; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!