Формула нахождения производной сложной функции.

Тут Ответ: <<МАТАН>> (Функция нескольких переменных)

Понятие функции двух и более переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть - множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число - зависимой переменной.

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: - радиуса основания и - высоты.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных - функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции - вся плоскость, а функции - единичный круг с центром в начале координат ( или .

Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка

В разделе "Примеры математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных" мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация исходного реагента; v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора.

Данное уравнение является одномерным дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка (см. таблицу в разделе "Типы дифференциальных уравнений, изучаемых в курсе").

Рассмотрим другой пример. Математическая модель процессов массовой кристаллизации включает уравнение баланса числа частиц, имеющее вид:

где f - функция плотности распределения кристаллов по размерам; l - размер кристалла; - скорость роста кристалла; i - скорость образования зародышей; lЗ - размер зародыша.

Данное уравнение также является одномерным дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка.

Таким образом, дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка часто встречаются в математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов, что обуславливает необходимость знания методик численного решения этих уравнений. Для простоты дальнейшего изложения мы будем рассматривать одномерные дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка в следующем общем виде:

причём параметр v может быть как положительным, так и отрицательным, но не равным нулю (поскольку при v = 0 уравнение (5.1) будет уже являться обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка; методы решения этих уравнений будут рассмотрены в главе 12).

Уравнение (5.1) следует дополнить начальным и граничным условиями:

Каким должно быть данное граничное условие - левым или правым, мы сможем выяснить, только зная методику численного решения уравнения (5.1). Также отметим, что при постановке дифференциальной задачи порядок уравнений, описывающих граничные условия, должен быть ниже порядка самого дифференциального уравнения. Поэтому при описании методов численного решения уравнения (5.1) мы будем рассматривать только граничные условия 1-го рода.

Полный дифференциал

Полный дифференциал, функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение

в случае, когда оно отличается от полного приращения

Df = f (x + Dx, y + Dy, z + Dz,…) - f (x, y, z, …)

на величину, бесконечно малую по сравнению с

Производнаясложнойфункции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от .

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда .В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как . Здесь f – функция синуса, - функция извлечения квадратного корня - дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом .