Примеры по выполнению практической работы



      Пример 1.  На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуко­вой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сиг­нал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуа­ции равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал срабо­тал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

Решение: обозначим событие А — звуковой сигнал сработал; Н1 — гипотеза, состоящая в том, что авария произошла, Н2 — гипотеза, состоящая в том, что аварии нет.

По условию задачи: Р(Н1) = 0,004;  Р(Н2) = 1- 0,004 = 0,996;

                         

По формуле полной вероятности рассчитаем вероятность события А:

                            Р(А) = 0,004 • 0,95 + 0,996 • 0,02 = 0,02372.

Определим вероятность реальной аварийной ситуации, если звуковой сигнал прозвучал РА1) по формуле Байеса:

                               

 

      Пример 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение: обозначим через А событие - деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): B1- деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) P(B1) = 2/3; В2 - деталь произведена вторым автоматом, причем P(B2) = 1/3. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, PB1(A) = 0,6.  Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, PB2(A) = 0,84.  Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

   Р(А) = Р (В1) РB1(А) + Р(В2) Рв2(А) = 0,6 + 0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

 

Задания для практического занятия:

 

Вариант 1

1. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2 % брака, второй – 0,1 % брака, , продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит бракованных изделий. На сборку поступило 2000 изделий с первого автомата, 3000 деталей со второго автомата и 5000 изделий с третьего автомата. Какова вероятность того, что деталь, выбранная наугад из данных деталей, поступила с первого автомата, если известно, что она является не бракованной?

2. Из первой урны, содержащей 8 белых и 4 черных шара, наугад переложили один шар во вторую урну, содержащую 2 белых и 3 черных шара. Затем из второй урны наугад извлекли один шар. Шар, извлеченный из второй урны, оказался белым. Вычислить вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар.

3. В специализированную клинику поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием Д, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней Д и М соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в клинику, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

 

Вариант 2

1. В специализированную клинику поступают больные с одним из заболеваний А, В и С: в среднем 50% больные с заболеванием А, 30% с заболеванием В и 20 % с заболеванием С, Вероятности полного излечения от этих заболеваний равны соответственно 0,95, 0,90 и 0,85.

Больной, поступивший в клинику, был полностью вылечен. Какова вероятность, что он страдал заболеванием В?

2. Из первой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наугад переложили один шар во вторую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из этой урны извлекли один шар. Шар, извлеченный из второй урны, оказался белым. Вычислите вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен шар белого цвета.

3. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка, Найти вероятность того, что , что ошиблась первая перфораторщица.

 

Вариант 3

1. В двух цехах изготавливается однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое выше, чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 92%, для второго 87%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие. Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества

2. В двух ящиках имеются электрические лампочки. В первом ящике их 12 штук, среди них 1 нестандартная, во втором ящике 10 лампочек, из которых 1 нестандартная. Из первого ящиканаугад взята лампочка и переложена во второй ящик. Наудачу извлеченная лампочка оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что из первого ящика во второй была переложена стандартная лампочка?

3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов.. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55., а ко второму - 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным . Найти вероятность того, что это изделие было проверено вторым товароведом.

 

Вариант 4

1. Легковых автомобилей у бензоколонки проезжает вчетверо больше, чем грузовых машин. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой - 0,15. Только что от бензоколонки отъехала заправленная машина. Какова вероятность того, что это был грузовик?

2. В ящик, содержащий 3 детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Извлеченная наугад деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что изначально в ящике были две стандартные детали?

3. Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя первой микросхемы в течение определенного (достаточно большого) времени - равна - 0,2, а второй - 0,1. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что эта первая микросхема.

   

Контрольные вопросы

1. Какие вероятности вычисляются по формуле Байеса?

2. Почему вероятности, вычисленные по формуле Байеса, называются

апостериорными?

3. Приведите примеры использования апостериорных вероятностей.

 

Практическая работа № 6


Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 2179; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!