Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли»
Учебная цель: научиться вычислять вероятности событий в схеме Бернулли
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.
Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна p. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1- p. Поставим перед собой задачу: вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: 
, 
, 
, 
. Запись , означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т. е. наступило противоположное событие 
, соответственный смысл имеют и другие записи. Искомую вероятность обозначим 
.
|
|
|
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли:
где 
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится весьма громоздким при больших значениях n ввиду наличия в ней факториалов n!, m!, (n-m)! Поэтому на практике применяют приближенную формулу Муавра-Лапласа:
(2)
где
Функция 
называется кривой вероятностей. В приложении 1 представлена таблица значений этой функции при разных аргументах.
Можно выделить следующие свойства кривой вероятностей:
|
|
|
► функция симметрична относительно оси ординат (см. рис.);
► 
— четная функция, т.е. 
► 
достигает максимума при 
Рис. Кривая вероятностей
► для больших значений 
стремится к нулю, т.е 
Формула Муавра-Лапласа дает очень хорошее приближение для определения вероятности , если число 
достаточно велико и тем лучше, чем больше , если только вероятность 
мала, но не слишком.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1066; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!