Решение задач на составление закона распределения ДСВ»



 

Учебная цель:  научиться составлять для дискретных случайных величин законы распределения

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

 

Студент должен

уметь:

- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;

знать:

- основы теории вероятностей и математической статистики;

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

  Случайной величинойназывают такую переменную величину, которая под воздействием случай­ных факторов может с определенными вероятностями при­нимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Различают дискретные и непрерывные случайные величи­ны. Случайная величина непрерывна, если ее значения мо­гут лежать в некотором континууме возможных значений. (Это предполагает, что их нельзя пересчитать, ставя в соответствие им натуральные числа 1, 2, …), Значения непрерывной случайной величины могут лежать на отрезке, интервале, луче и т.д.

    Случайная величина X называется дис­кретной, если результаты наблюдений представляют со­бой конечный или счетный набор возможных чисел. Число возможных значений дискретной случайной ве­личины может быть конечным или бесконечным. В результате одного испытания случайная величина X принимает одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены. Например, если в качестве случайной величины рассмат­ривать оценку студента на экзамене, то с определенной ве­роятностью, которая зависит от многих факторов, студент может получить или 2, или 3, или 4, или 5, но в результате сданного одним студентом экзамена в ведомости всегда стоит только одна оценка.

Случайная величина может быть задана законом распре­деления.

    Законом распределения дискретной слу­чайной величины называют соотношение, устанавливаю­щее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятно­стями.

  Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

  При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины таблица состоит из двух строк и называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины X. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая - соответствующие им вероятности.

 

 

  Значения  записываются в таблице, как пра­вило, в порядке возрастания. Приняв во внимание, что в каждом отдельном испыта­нии случайная величина принимает только одно возмож­ное значение случайной величины X, заключаем, что собы­тия  несовместны и образуют пол­ную группу событий. Следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таб­лицы, равна единице:

 

            (1)

 

Биномиальное распределение

  Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиаль­ное распределение.

  Рассмотрим последовательность  идентичных повтор­ных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям, которые носят название схемы Бернулли:

1) все  испытаний — независимы. Это значит, что вероят­ность наступления события в любом из п повторных ис­пытаний не зависит от результатов других испытаний;

2) в каждом испытании может наступить или не наступить некоторое событие , вероятность наступления которо­го  остаётся неизменной в каждом испытании;

3) противоположное событие  имеет вероятность , которая тоже остается неизменной от испытания к испы­танию;

4) эти события А и  взаимно несовместные и противопо­ложные, называемые успех и неуспех.

  Тогда для вычисления вероятности того, что в  незави­симых повторных испытаниях, удовлетворяющих услови­ям 1-4, событие  наступит ровно  раз, при  (в любой последовательности), вычисляется по фор­муле Бернулли:

                           

где  — вероятность успеха в каждом испытании;  — вероятность неуспеха в каждом испытании; — число сочетаний из  по .

 

Распределение Пуассона

   Если число испытаний велико, а вероятность появления события  в каждом испытании очень мала, то вместо фор­мулы (2) пользуются приближенной формулой:

                                         (3)

где  — число появлений события в  независимых испыта­ниях;

 (среднее число появлений события в  испыта­ниях).

  Выражение (3) называется формулой Пуассона. При­давая целые неотрицательные значения  можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле (3), который называется законом распределения Пуассона:

0 1 2

 

Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежут­ке времени или пространства. Оно описывает число собы­тий , происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. Например, число покупателей, посетивших супермаркет в течение часа, число аварий на отрезке дороги, число дефектов на участке водопровода, число посетителей музея в неделю и т.д.

  Если распределение Пуассона применяется вместо би­номиального распределения, то  должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а .


Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1089; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!