Решение задач на составление закона распределения ДСВ»
Учебная цель: научиться составлять для дискретных случайных величин законы распределения
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Случайной величинойназывают такую переменную величину, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина непрерывна, если ее значения могут лежать в некотором континууме возможных значений. (Это предполагает, что их нельзя пересчитать, ставя в соответствие им натуральные числа 1, 2, …), Значения непрерывной случайной величины могут лежать на отрезке, интервале, луче и т.д.
Случайная величина X называется дискретной, если результаты наблюдений представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. В результате одного испытания случайная величина X принимает одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены. Например, если в качестве случайной величины рассматривать оценку студента на экзамене, то с определенной вероятностью, которая зависит от многих факторов, студент может получить или 2, или 3, или 4, или 5, но в результате сданного одним студентом экзамена в ведомости всегда стоит только одна оценка.
|
|
|
Случайная величина может быть задана законом распределения.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины таблица состоит из двух строк и называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины X. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая - соответствующие им вероятности.
| 
| 
| … | 
| 
|
| 
| 
| … | 
| 
|
Значения 
записываются в таблице, как правило, в порядке возрастания. Приняв во внимание, что в каждом отдельном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение случайной величины X, заключаем, что события 
несовместны и образуют полную группу событий. Следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:
|
|
|
(1)
Биномиальное распределение
Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальное распределение.
Рассмотрим последовательность 
идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям, которые носят название схемы Бернулли:
1) все испытаний — независимы. Это значит, что вероятность наступления события в любом из п повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний;
2) в каждом испытании может наступить или не наступить некоторое событие 
, вероятность наступления которого 
остаётся неизменной в каждом испытании;
3) противоположное событие имеет вероятность 
, которая тоже остается неизменной от испытания к испытанию;
4) эти события А и 
взаимно несовместные и противоположные, называемые успех и неуспех.
Тогда для вычисления вероятности того, что в независимых повторных испытаниях, удовлетворяющих условиям 1-4, событие наступит ровно 
раз, при 
(в любой последовательности), вычисляется по формуле Бернулли:
|
|
|
где — вероятность успеха в каждом испытании; 
— вероятность неуспеха в каждом испытании; 
— число сочетаний из по .
Распределение Пуассона
Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (2) пользуются приближенной формулой:
(3)
где — число появлений события в независимых испытаниях;
(среднее число появлений события в испытаниях).
Выражение (3) называется формулой Пуассона. Придавая целые неотрицательные значения 
можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле (3), который называется законом распределения Пуассона:
|
| 0 | 1 | 2 | … |
| … |
|
| 
| 
| 
| … | 
| … | 
|
Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства. Оно описывает число событий 
, происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. Например, число покупателей, посетивших супермаркет в течение часа, число аварий на отрезке дороги, число дефектов на участке водопровода, число посетителей музея в неделю и т.д.
|
|
|
Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального распределения, то должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а 
.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1076; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!