Вычисление вероятностей событий с помощью теорем умножения и сложения вероятностей»
Учебная цель: научиться вычислять вероятности событий с помощью теорем умножения и сложения вероятностей
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Операции над событиями
Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Символически это записывают так:
.
Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном наступлении А и В. Символически произведение записывают так: С=АВ или 
. Если А и В — несовместные события, то 
, т. е. их пересечение пусто (невозможное событие).
Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначают через 
(читают «не А»). Противоположные события образуют полную систему попарно несовместных событий, т. е. 
.
Теоремы умножения вероятностей
Произведение двух событий состоит из тех элементарных событий, которые благоприятствуют и первому, и второму событию, то есть принадлежат их пересечению АВ = А ∩ В. Вероятность произведения событий зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий А и В называются безусловными; и вероятность произведения таких событий равна произведению их вероятностей
|
|
|
Р(АВ) = Р(А) Р(В) (1)
| (4.1) |
Вероятность совместного появления нескольких независимых событий в совокупности равна произведению вероятностей этих:
P(A1 А2 .. Аn) = P(A1) Р(А2) …· Р(Аn) (1.1)
События А и В зависимые, если вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что А уже осуществилось, называется условной вероятностью и обозначается РА(В).
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(А)РА(В) или Р(АВ) = Р(В)РВ(А). (2)
|
|
|
Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий (произведения событий) равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже произошли (теорема умножения вероятностей для зависимых событий):
Р(А1 А2 ..... Аn) = P(A1) PA1 (A2)Р А1 А2 (А3) ..... P A1 А2 .... An-1 (An) (2.1)
Теорема сложения вероятностей
В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления и определяется по формуле:
(3)
Очевидно, что если события несовместны, то вероятность их совместного наступления равна нулю. Поэтому для двух несовместных событий вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (4)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
|
|
|
Р(А1 + А2 +.... +Аn) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) (4.1)
Формулы для определения вероятности суммы большего числа совместных событий достаточно громоздки. Если число событий возрастает, то часто бывает удобнее использовать вероятность противоположных событий. В самом деле, событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из нескольких элементарных событий, противоположно событию - «не наступит ни одно из них», поэтому можно использовать формулу:
Р(А1 + А2 + ... + Аn) = 1- Р(Ā1 Ā2 … Ān) (5)
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 459; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!