Решение задач с применением элементов комбинаторики»
Учебная цель: научиться решатьпростейшие комбинаторные задачи.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой. Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории управляющих систем и вычислительных машин и других разделах науки и техники. Основными элементами комбинаторики являются размещения, перестановки, сочетания.
Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Размещением из n элементов по т 
элементов называется упорядоченноемножество, содержащее m различных элементов данного множества. Из определения вытекает, что размещения из n элементов по m элементов - это все m –элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования. Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов обозначают 
и вычисляют по формуле
|
|
|
или 
(1)
Здесь 
и 
. Условимся считать 0! = 1, поэтому 
Перестановкой из n элементов называется размещение из п элементов по n элементов. Так как каждая перестановка содержит все п элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число всех возможных перестановок из п элементов обозначают 
. Из определения перестановок следует
, т.е 
(2)
Сочетанием из п элементов по т 
элементов называется любое подмножество, которое содержит т различных элементов данного множества. Следовательно, сочетания из п элементов по т элементов - это все т - элементные подмножества п - элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными.
Число всех возможных сочетаний из п элементов по т элементов обозначают 
и вычисляют по формуле
(3)
|
|
|
(4)
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1.В группе из 30 учащихся нужно выбрать комсорга, профорга, физорга. Сколькими способами это можно сделать, если каждый из 30 учащихся комсомолец, член профсоюза и спортсмен?
Решение: искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента, т.е. 
. Положив по формуле (1) 
, 
, получаем 
.
Ответ: 24360 способов.
Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?
Решение:Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.
.
Ответ: 720 способов расстановки.
Пример 3.В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: т.к. порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать 
способами. По формуле (4) находим 
Ответ: 12650 способов.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Сколькими способами можно выбрать 4 детали из ящика, в котором
12 деталей?
2. Сколько можно изготовить различных трёхцветных флажков, если
|
|
|
использовать следующие цвета: белый, синий, красный, жёлтый, чёрный,
зелёный?
3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5,6?
4. В вазе 5 красных и 7 белых роз. Сколькими способами можно составить букет из 5 роз, если в нем должно быть две красных и три белых розы?
5. Решить уравнение: 
6.Вычислить: 
Вариант 2
1. Сколькими способами можно увезти со склада 10 ящиков на двух
машинах, если на каждую из машин грузят по 5 ящиков?
2. Из восьми цифр 1,2,3,4,5,6,7,8 нужно составить четырехзначный код. Сколько вариантов кода существует, если повторения цифр в нем быть не должно?
3. В школе четыре выпускных класса. Сколько способов
распределения экзаменаторов существует для проведения экзамена по химии, если на одном экзамене присутствует только один экзаменатор?
4. В вазе 5 апельсинов и 8 яблок. Сколькими способами можно выбрать 6 фруктов, чтобы среди них было 3 апельсина?
5.Решить уравнение: 
.
6.Вычислить: 
.
Вариант 3
1. Группа из 28 студентов обменялась фотокарточками. Сколько фотокарточек было роздано?
2. Для участия группы, в составе 30 человек в спортивных состязаниях нужно выбрать команду из 4-х человек. Сколькими способами можно выбрать участников состязания?
|
|
|
3. Сколькими способами можно составить список из 8-ми человек?
4. В ящике с детскими кубиками 8 зеленых и 5 красных кубиков. Сколько способов выбора 7 кубиков существует, если среди них должно быть 5 зеленых кубиков?
5.Решить уравнение: 
.
6.Вычислить: 
.
Вариант 4
1. Сколько аккордов можно составить на 10-ти клавишах рояля, если
каждый аккорд содержит три звука?
2. На коллектив из 25-ти человек выделено три путевки: в санаторий, в
дом отдыха и на турбазу. Сколько способов распределения путевок существует?
3. Сколькими способами можно рассадить 7 человек на 7-ми стульях?
4. На столе лежит стопка карт, в которой 10 карт черной масти и 8 карт – красной. Сколькими способами можно выбрать 8 карт, чтобы среди них было 5 карт черной масти?
5.Решить уравнение: 
.
6.Вычислить: 
.
Контрольные вопросы
1. Какие задачи называются комбинаторными?
2. Какие основные элементы комбинаторики вы знаете? Дайте их
определения и перечислите формулы для их вычисления.
Практическая работа № 2
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 3050; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!