Уравнение неразрывности для носителей заряда в проводнике. Дифференциальная форма условия существования постоянного электрического тока
Рассмотрим некоторую воображаемую замкнутую поверхность S, выделенную в среде, в которой проходит ток (рис. 4.14,6). Тогда величина 
jndS представляет собой ток, проходящий через поверхность S, т. е. заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S. Это приводит к уменьшению заряда q = 
ρ(x, y, z, t)dV, который содержится в выделенном объеме V. С учетом закона сохранения заряда в случае неподвижной поверхности S запишем:dq / dt = – 
jndS => 
jndS = – ∂ρdV / ∂t. (4.43).Воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса (приняв A ≡ j, см. табл. II.5 прил. II): jndS = divjdV и преобразуем левую часть уравнения (4.43): 
divjdV = – ∂ρdV / ∂t => (div j + ∂ρ / ∂t) dV = 0. (4.44).Очевидно, что интеграл (4.44) может быть равен нулю при произвольном объеме V только в том случае, если подынтегральная функция равна нулю: div j + ∂ρ / ∂t = 0 => div j = –∂ρ / ∂t — уравнение неразрывности для электрического тока. (4.45)
Полученное уравнение выражает закон сохранения заряда. В случае постоянного тока плотность заряда ρ в каждой точке проводящей среды не изменяется со временем, т. е. ∂ρ / ∂t = 0. Тогда из уравнения неразрывности следует, чтоdiv j = 0 — условие существования постоянного тока. (4.46)
Сравнивая выражение (4.46) с уравнением (3.46) для магнитного поля (div B = 0), можно утверждать, что линии постоянного тока также являются замкнутыми (как и силовые линии вихревого поля магнитной индукции B).
|
|
|
Закон Ома для участка цепи (в интегральной и дифференциальной формах записи). Закон Ома для неоднородного участка электрической цепи. Удельная электрическая проводимость. Температурный коэффициент сопротивления.
Ом экспериментально установил закон, согласно которому: сила тока текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике
Коэффициент пропорциональности R – называется электрическим сопротивлением проводника. Единица измерения сопротивления 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течёт ток силой в 1 А.
Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого изготовлен проводник. Для однородного линейного проводника сопротивление прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения: 
.
Коэффициент пропорциональности 
, характеризующий материал проводника называется удельным электрическим сопротивлением проводника. Единица измерения [Ом. м].
Проводники соединяют последовательно и параллельно.
Последовательное соединение проводников: 
.
По закону Ома 
.
Следовательно 
.
|
|
|
Параллельное соединение проводников: 
. 
По закону Ома 
.
Следовательно 
.
Опытным путем установлено, что для большинства случаев изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) с температурой описывается линейным законом: 
или 
, где 
и 
, 
и 
– соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах t и 0о С, 
- температурный коэффициент сопротивления.
Величина, равная 
называется электрической проводимостью проводника. Единица измерения проводимости – сименс [См].
Определим связь между векторами плотности тока и напряжённости поля в одной и той же точке проводника. Для этого воспользуемся законом Ома: 
, или 
.
Величина 
называется удельной электрической проводимостью. Её единица измерения [См/м]. С учетом, что 
– напряжённость электрического поля, а 
– плотность тока, получим 
- закон Ома в дифференциальной форме.
От закона Ома в дифференциальной форме можно перейти к интегральной форме. Рассмотрим неоднородный участок цепи 1→2, на котором присутствуют сторонние силы. Допустим, что внутри этого участка существует линия (которую назовём контуром тока), удовлетворяющая следующим условиям:
В каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величина плотности тока, удельная электрическая проводимость, напряжённость поля сторонних сил и напряжённость поля электростатических сил имеют с достаточной точностью одинаковые значения.
|
|
|
Вектора плотности тока, напряжённости поля сторонних сил и электростатических сил в каждой точке направлены по касательной к контуру.
Выберем произвольное направление движения по контуру. Спроектируем векторы на элемент контура dl. Тогда 
. Так как 
, а 
, то получим, что 
или 
. Умножим это соотношение на dl и проинтегрируем вдоль контура: 
.
Величина 
– сопротивление участка контура длины dl, 
– разность потенциалов, а 
– ЭДС действующая на участке. Следовательно 
, откуда 
– закон Ома для неоднородного участка цепи.
Частные случаи:
Если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то 
и сила тока, протекающего по проводнику 
– закон Ома для участка цепи.
Если цепь замкнута, то 
и сила тока 
– закон Ома для замкнутой цепи.
Если цепь разомкнута, то 
и 
– ЭДС действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.
В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи 
и сила тока 
.
1. Закон Ома в дифференциальной форме. Вывод закона Ома на основе классических представлений
|
|
|
Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному (в смысле отсутствия сторонних сил) металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:I = U / R. (34.1)
Напомним, что в случае однородного проводника напряжение U совпадает с разностью потенциалов φ1 – φ2 (см. (33.6)).
Обозначенная в формуле (34.1) буквой R величина называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток силой 1 А.
Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводникаR = ρl / S, (34.2)
где l — длина проводника, S — площадь его поперечного сечения, ρ — зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. Если l = 1 и S = 1, то R численно равно ρ. В СИ ρ измеряется в ом-метрах (Ом•м).
Найдем связь между векторами j и Е в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е. Поэтому направления векторов j и Е совпадают. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторами j и Е (рис. 34.1). Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой j dS. Напряжение, приложенное к цилиндру, равно Е dl, где Е — напряженность поля в данном месте. Наконец, сопротивление цилиндра, согласно формуле (34.2), равно ρ(dl/dS). Подставив эти значения в формулу (34.1), придем к соотношениюjdS = dSEdl / ρdl или j = Eρ.
Воспользовавшись тем, что векторы j и Е имеют одинаковое направление, можно написатьj = E / ρ = σE. (34.3)
Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.
Фигурирующая в (34.3) обратная ρ величина σ называется удельной электрической проводимостью материала. Единица, обратная ому, называется Сименсом (См). Соответственно единицей σ является сименс на метр (См/м).
Закон Ома для неоднородного участка цепи
На неоднородном участке цепи на носители тока действуют, кроме электростатических сил еЕ, сторонние силы еЕ*. Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока в той же мере, как и силы электростатические. В предыдущем параграфе мы выяснили, что в однородном проводнике средняя скорость упорядоченного движения носителей тока пропорциональна электростатической силе еЕ. Очевидно, что там, где, кроме электростатической силы, на носители действуют сторонние силы, средняя скорость упорядоченного движения носителей будет пропорциональна суммарной силе еЕ + еЕ*. Соответственно плотность тока в этих точках оказывается пропорциональной сумме напряженностей Е + Е*:j = σ(Е + Е*). (35.1)
Формула (35.1) обобщает формулу (34.3) на случай неоднородного проводника. Она выражает в дифференциальной форме закон Ома для неоднородного участка цепи.
От закона в дифференциальной форме можно перейти к интегральной форме закона Ома. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (мы будем называть ее контуром тока), удовлетворяющая следующим условиям: 1) в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины j, σ, Е, Е* имеют с достаточной точностью одинаковые значения; 2) векторы j, E и Е* в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным (рис. 35.1).
Выберем произвольно направление движения по контуру. Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи (направление 1 – 2). Спроектируем векторы, входящие в соотношение (35.1), на элемент контура dl. В результате получимjl = σ(El + El*). (35.2)
В силу сделанных предположений проекция каждого из векторов равна модулю вектора, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того, как направлен вектор по отношению к dl. Например, jl = j, если ток течет в направлении 1 – 2, и jl = –j, если ток течет в направлении 2 – 1.
Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому величина I = jlS постоянна вдоль контура. Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Напомним, что направление 1 – 2 мы выбрали произвольно. Поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его следует считать положительным; если же ток течет в противоположном направлении (т. е. от конца 2 к концу 1), его силу следует считать отрицательной.
Заменим в (35.2) jl отношением I / S, а проводимость σ — удельным сопротивлением ρ. В итоге получится соотношениеIρ / S = El + El*.
Умножим это соотношение на dl и проинтегрируем вдоль контура:I 
ρdl / S = 
Eldl + El*dl.
Выражение ρ dl / S представляет собой сопротивление участка контура длины dl, а интеграл от этого выражения — сопротивление R участка цепи. Первый интеграл в правой части дает φ1 – φ2, а второй интеграл — э. д. с. ξ12, действующую на участке. Таким образом, мы приходим к формулеIR = φ1 – φ2 + ξ12. (35.3)
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 593; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!