Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Расположим в электростатическом поле элементарную площадку dS так, что нормаль 
к ней образует угол 
с вектором 
.
Тогда величина 
, где 
называется потоком вектора напряженности сквозь элементарную площадку dS. Для того чтобы найти суммарный поток через какую-либо поверхность S необходимо проинтегрировать выражение (1) по S: 
. Поток вектора напряженности есть скалярная величина. Знак Ф зависит от выбора направления нормали 
к элементарной площадке dS. В случае замкнутой поверхности поток рассчитывается по отношению к ее внешней нормали 
(3) Единица измерения потока следует из его определения 
= В/м×м2 = В×м.
Когда пов-ть замкнута и силовые линии выходят из неё, то они образуют положительный поток,если входят в неё —отрицательный. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен числу линий, выходящих наружу, т.е. начинающихся на заряде, если он положителен, и числу линий, входящих внутрь, т.е. оканчивающихся на заряде, если он отрицателен.
Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности Е электростатического поля точечного заряда q через любую замкнутую поверхность S равна 
, если эта поверхность охватывает заряд q и равна нулю, если поверхность S не охватывает этот заряд 
Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчёту напряжённости электростатических полей однороднозаряженных шара, сферы, бесконечной нити, тонкостенного полого длинного цилиндра, плоскости.
А). Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Пусть плоскость заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда s. Поскольку поле вверх или вниз одинаково, а поток через боковую поверхность равен 0 (из-за того, что скалярное произведение 
и элемента боковой поверхности равно нулю), имеем: 
Сокращая на элемент поверхности, получаем поле от равномерно заряженной плоскости: 
(1.3.10)
Примечание 3: в системе СИ поле от равномерно заряженной плоскости записывается как 
.
б). Поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра (нити). Пусть имеем равномерно заряженную нить (или цилиндр) с линейной плотностью заряда t (заряд на единицу длины). В силу симметрии вектор напряженности электрического поля направлен радиально, т.е. перпендикулярно к оси нити (см рисунки). Следовательно, для определения поля как функцию расстояния от нити удобно выбрать цилиндрическую поверхность с осью совпадающей с осью нити. Поток вектора напряженности через торцы цилиндрической поверхности равен нулю (см вид сбоку), в силу перпендикулярности векторов и 
, и остается поток вектора только через боковую поверхность цилиндра. Последний в силу параллельности и легко может быть сосчитан (см вид сбоку и в разрезе, поле имеет одинаковую величину на одном расстоянии от оси) и, используя теорему Гаусса, имеем: 
где h - длина выбранной цилиндрической поверхности. Тогда получаем электрическое поле, создаваемое бесконечной, равномерно заряженной нитью 
(1.3.11) Из (1.3.11) видно, что поле убывает медленнее с увеличением расстояния от нити, чем в случае точечного заряда. Примечание 4: в системе СИ 
Если цилиндр радиуса R имеет поверхностную плотность заряда s, а внутри его зарядов нет, то получаем: 
(1.3.12) Аналогично можно получить величину поля в случае заряженного цилиндра с постоянной плотностью объемного заряда как внутри, так и снаружи цилиндра в). Поле равномерно заряженного 
шара радиуса R. Пусть имеем шар радиуса R, заряженный равномерно по всему объему с плотностью заряда r. Из соображений симметрии эл. поле направлено радиально. Получаем поле внутри равномерно заряженного шара: 
в системе СИ электрическое поле внутри шара равно 
.Соотношение (1.3.15) легко записать в векторном виде, поскольку поле внутри шара направлено по радиусу: 
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 714; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!