Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Если в интеграл вместо функции подставить ее интерполирующий многочлен Лагранжа , то получим семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса
.
Для равноотстоящих узлов полином Лагранжа будет:
,
где – шаг интерполяции, , тогда:
;
; .
Здесь – коэффициенты Ньютона-Котеса. Они не зависят от , а зависят только от числа узлов интерполяции , следовательно
, ;
, ;
, ;
, .
Тогда формула Ньютона-Котеса имеет вид:
.
Частный случай :
;
, ,
– формула трапеций.
Частный случай , :
, ,
, – формула Симпсона. Аналогично при получим формулу трех восьмых:
.
Погрешность формулы трех восьмых на шаге .
Экстраполяция по Ричардсону
Пусть – два приближенных значения интеграла , вычисленных по одной и той же формуле при и . Тогда более точное значение этого интеграла можно найти:
,
где m – порядок погрешности на одном шаге выбранной формулы.
Для формулы трапеций m = 2, формулы Симпсона – m = 4.
Квадратурные формулы Гаусса, Чебышева
Общий вид квадратурной формулы:
(3.1)
здесь – узлы интегрирования, – весовые функции. Определенный интеграл приближенно равен средневзвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования.
В предыдущих квадратурных формулах брались равноотстоящие узлы с шагом , и весовые коэффициенты получались заменой подынтегральной функции на кусочно-постоянную (формула прямоугольников), кусочно-линейную (формула трапеций), кусочно-квадратичную ( формула Симпсона).
|
|
Для получения более точных формул откажемся от равномерного распределения узлов. Удобно сделать замену:
,
тогда интеграл по произвольному промежутку преобразуется в интеграл по стандартному промежутку :
.
Таким образом, без потери общности можно рассматривать интеграл:
, (3.2)
здесь – число узлов интегрирования.
В выражение для погрешности квадратурных формул входит производная некоторого порядка от функции, т. к. производная порядка равна нулю для полинома степени , то квадратурная формула верна для многочленов степени (k – 1). Например, формула односторонних прямоугольников точна для полиномов нулевого порядка, ; формула центральных прямоугольников – для линейных полиномов, формула трапеций – для линейных полиномов, ; формула Симпсона – для кубических полиномов, .
Потребуем, чтобы квадратурная формула (3.2) была точна для полинома степени , где – число узлов.
Формула Чебышева
Пусть все весовые коэффициенты равны . Получим формулу Чебышева, точную для полиномов степени . Считая, что равенство (3.2) будет точным для функций , имеем: , тогда квадратурная формула примет вид:
|
|
. (3.3)
Подставим в формулу (3.3) и, считая равенство (3.3) точным, получим уравнение : .
Подставляя поочередно , получим систему уравнений:
(3.4)
Доказано, что эта специфическая система уравнений с неизвестными (3.4) определяет единственный набор при . Эти узлы вычислены с высокой точностью и затабулированы. При и система (3.4) не имеет действительных решений.
Формула Гаусса
Рассмотрим общий вид квадратурной формулы (3.2). В ней неизвестными являются параметров: узлов и весовых коэффициентов .
Подберем и так, чтобы равенство было точным для полиномов степени или для степенных функций:
.
Подставляя в точное равенство (3.2) поочередно эти функции, получим:
(3.5)
Решение системы (3.5) весьма затруднительно, но, оказывается, узлами квадратурной формулы в этом случаеявляются корни полиномов Лежандра , которые принадлежат интервалу и расположены симметрично относительно начала координат, а веса находятся интегрированием базисных многочленов Лагранжа степени :
|
|
. (3.6)
Напомним, что полиномы Лежандра определяются рекуррентной формулой Родрига:
и являются ортогональными полиномами с весом на отрезке
Докажем, что при таких и формула (3.2) будет точна при подстановке в нее вместо любого многочлена степени .
Пусть . Согласно теореме о делении полинома на полином с остатком, существуют такие полиномы и , что:
.
Подставим это выражение в левую часть формулу (3.2).В силу линейной независимости полиномов Лежандра и их попарной ортогональности всегда найдется набор , таких, что
,
тогда
,
. (3.7)
Теперь преобразуем правую часть формулы (3.1):
,
здесь – базисный многочлен Лагранжа. Покажем, что при таком формула будет точна:
.
В левой части последнего равенства под интегралом стоит интерполяционный многочлен Лагранжа степени , составленный по значениям , который в силу своей единственности однозначно восстанавливается интерполированием. Тогда верно точное равенство:
.
Отсюда ясно, что указанные значения и являются узлами и весовыми коэффициентами квадратурной формулы Гаусса.
Запишем теперь общую квадратурную формулу для интеграла по промежутку :
|
|
.
Оценка погрешности квадратурных формул Гаусса, Чебышева говорит о существенно более быстром убывании погрешности с ростом числа узлов для достаточно гладких интегрируемых функций. При существуют таблицы (см. табл.3.1).
Таблица 3.1.
Формула Чебышева | Формула Гаусса | |||
2 | 0,577350 | 1 | 0,577350 | 1 |
3 | 0 0,707107 | 0 0,774597 | ||
4 | 0,187592 0,794654 | 0,339981 0,861136 | 0,652145 0,347855 | |
5 | 0 0,374541 0,832497 | 0 0,538469 0,906180 | 0,568889 0,478629 0,236927 |
В практикуме рассмотрены примеры вычисления интегралов по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, формулам Гаусса и Чебышева для с помощью вычислительного пакета Mathcad. Очевидно, что использование формул Гаусса и Чебышева позволяет достичь высокой точности при существенно меньшем объеме вычислений в сравнении с другими квадратурными формулами.
Метод Монте-Карло
Метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло использует статистико-вероятностный подход к вычислению определенных интегралов.
Рассматривается некоторая случайная величина , математическое ожидание которой равно искомой величине :
.
Проводится серия независимых испытаний, в результате которых генерируется последовательность случайных чисел , имеющих то же распределение, что и . Находится выборочное среднее , которое является статистической оценкой , при этом
.
Пусть равномерно распределенная на отрезке случайная величина. Это означает, что ее плотность распределения задается:
тогда любая функция также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно
.
Читая это равенство в обратном порядке, получаем, что интеграл может быть вычислен как оценка математического ожидания некоторой случайной величины , которая является функцией случайной величины с равномерным законом распределения, причем оценка определяется независимыми реализациями случайной величины :
или для интеграла общего вида
, .
Погрешность метода .
Рулетка Монте-Карло – простейший генератор случайных чисел.
Для использования метода Монте-Карло необходимо генерировать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Способы генерирования: разработаны алгоритмы генерирования случайных чисел, датчики случайных чисел, реализованные в виде программ.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 699; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!