Обращение матриц разбиением на клетки

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 17Следующая ⇒

Задача решения линейной неоднородной системы уравнений и задача обращения матрицы тесно связаны друг с другом. Если требуется решить систему , и для матрицы известна обратная матрица , то получим . Рассмотрим обращение клеточных матриц.

Пусть – клеточная матрица размерности , в которой матрицы и – квадратные, причем . Найдем обратную матрицу , в которой матрицы также квадратные.

По определению , где единичная матрица также клеточная, в которой – единичные матрицы соответствующих порядков

Перемножив матрицы и приравняв соответствующие элементы,

получим:

Полагаем, что , т.е. существует обратная матрица , тогда

;

; ;

Таким образом, если вычисления начинаются с , то используем следующие формулы:

;

Вторая группа формул используется если обращение начинается с :

В практикуме разобран пример решения системы четвертого порядка в пакете Mathcad.

Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц

Матрица называется нижней треугольной, если элементы, стоящие выше ее главной диагонали, равны нулю: если :

, .

Матрица называется верхней треугольной, если элементы, стоящие ниже ее главной диагонали, равны нулю: .

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов .

Обратная матрица неособенной треугольной матрицы также треугольная матрица того же ранга и структуры. Матрица, обратная к левой треугольной, является левой треугольной, обратная к правой – правой треугольной.

Например, возьмем нижнюю треугольную матрицу:

, .

Выпишем алгебраические дополнения элементов:

тогда обратная матрица будет:

т. е. – алгебраические дополнения ненулевых элементов строго нижней треугольной матрицы равны нулю:

; .

Теорема. Если квадратная матрица имеет отличные от нуля главные миноры , ,…, и т. д., то ее можно разложить на произведение двух треугольных матриц (верхней и нижней). Это разложение будет единственным, если задать диагональные элементы одной из матриц отличными от нуля, например, положить их равными единице.

Пусть , будем рассматривать вывод формул на примере матриц четвертого порядка:

; .

Перемножаем матрицы:

приравниваем соответствующие элементы матриц

Последовательно решая одночленные, двучленные и т.д. уравнения получим

, , , ;

, ;

, … ;

, ;

Таким образом, для матриц порядка , получим формулы общего вида:

, – элементы матрицы ;

, – элементы матрицы .

Такое разложение матриц на две треугольные называется LU – разложение (от английского left – right).

При практическом разложении нужно иметь в виду, что поскольку в формулах для матрицы выполняется деление на диагональные элементы , то удобнее делать проверку на равенство нулю этих элементов, вместо проверки на равенство нулю главных миноров.