Решение дифференциальных уравнений в среде Maple
Примеры решения уравнений встроенными функциями
1. Решить дифференциальное уравнение 
.
Примечание 1.Производная в Maple задаётся функцией diff.
Синтаксис:
diff(<от чего производная>,<по какой переменной>)
diff(y(x),x) – первая производная по x от функции y, зависящей от x;
diff(y(x),x$n) – n-ая производная по x от функции y, зависящей от x.
Например:
> diff(sin(x),x);
> diff(sin(x),x$3);
Diff – инертная форма функции производной.
Например:
> Diff(tan(x),x)=diff(tan(x),x);
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ, зависящих от одной переменной, используется функция dsolve.
Синтаксис:
dsolve(<уравнение или система>,<по какой функции или функциям получить решение>)
dsolve({<уравнение или система>[,<условие1>,<условие2>,…]},<по какой функции или функциям получить решение>)
Решение:
> dsolve(diff(y(x),x$2)-4*diff(y(x),x)+13*y(x)=0,y(x));
2. Решить задачу Коши 
, если: 
.
Примечание 2.В обозначении граничных условий с производными используется дифференциальный оператор D (используется только с большой буквы) D(f)(0) – обозначает значение производной от функции f в нуле. Например, если f зависит от x, то это будет обозначать следующее: 
.
В функции dsolve уравнение и граничные условия записываются в виде списка или множества (описание см. Синтаксис среды Maple).
Решение.
>dsolve([diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+5*y(x),y(0)=2,D(y)(0)=6],y(x));
|
|
|
3. Решить систему ОДУ 
Примечание 3.
Все уравнения системы и условия записываются в общем одномерном списке или множестве. Набор функций, по которым производится интегрирование системы, также записывается в виде списка или множества.
Для начала необходимо выбрать переменную, от которой зависят x и у. Она не должна иметь имя уже объявленного оператора, константы, функции или переменной, иначе это приведет к ошибке. Каким образом отменить определение пользовательской переменной описано выше (см. Синтаксис среды Maple). В нашем случае переменная t.
Решение.
>dsolve({diff(x(t),t)=2*x(t)+3*y(t),diff(y(t),t)=5*x(t)+4*y(t)},{x(t),y(t)});
4. Решить систему ОДУ 
, при 
, 
.
Решение.
>dsolve({diff(x(t),t)=2*x(t)+3*y(t),diff(y(t),t)=5*x(t)+4*y(t),x(0)=15,D(y)(0)=20},{x(t),y(t)});
Примечание 4. Для получения конечного результата с действительными числами используется функция evalf.
Синтаксис:
evalf(<выражение>)
evalf[n](<выражение>) или evalf(<выражение>,n)
В первом примере функция evalf преобразует все выражения к виду с действительными числами с количеством значащих цифр, определяемым в системной переменной Digits. Во втором случае используется количество цифр, определенное пользователем (n).
Изменить системную переменную Digits можно обычным присваиванием ей целочисленного значения. В результате все операции с плавающей точкой будут использовать именно такое количество значащих цифр.
|
|
|
Для рассматриваемого примера:
>evalf(%);
Дифференциальные уравнения можно записывать и с помощью оператора D. Для перехода между формами записи дифференциальных уравнений используется функция convert с параметром D или diff. Рассмотрим пример программы с использованием различных форм записи.
> restart;
> a1:=diff(y(x),x$2)+13*diff(y(x),x)+10=0;
convert(%, D);
> a2:=(D@@2)(y)(x)+13*D(y)(x)+10;
convert(%, diff);
> dsolve(a2,y(x));
dsolve(a1,y(x));
Сначала производим отмену всех определений. Затем переменной а1 присваиваем значение дифференциального уравнения с использованием diff и преобразуем его к виду с использованием оператора D. После этого для сравнения переменной a2 присваиваем значение дифференциального уравнения записанного с использованием оператора D и преобразуем к виду с diff. Затем решаем поочередно оба уравнения. Результаты совпадают, следовательно, обе формы записи аналогичны.
Выражение 
с помощью diff можно записать так: diff(y(x),x$n). Здесь используется оператор перечисления $. Это выражение аналогично записи, где переменная x записана через запятую n раз. Аналогия с помощью оператора D выглядит следующим образом: (D@@n)(y)(x). В данном случае применяется оператор вложенности @@, т. е. сначала берется производная, а затем от нее еще производная и так n раз.
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 5581; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!