Кинематика точки. Основные понятия
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ гуманитарный УНИВЕРСИТЕТ
Редкин Ю.Н.
Курс
Физики
Часть 1. Механика
Киров - 2003
Конспект лекций по курсу физики (Часть 1. Механика) для студентов высших и средних учебных заведений.
Автор:
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры общей физики ВятГГУ Редкин Ю.Н.
Научный редактор:
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры общей физики ВятГГУ Бакулин В.Н.
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры общей физики ВятГГУ Голубев Ю.В.,
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры физики ВГУ Суслопаров А.М.
Компьютерный набор: Харина В.
Компьютерная верстка - Бакулин В.Н.
© Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ) – 2003г .
ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ
Введение
Предмет физики
1. Физика(от греческого Physis - природа). Это наука о природе, изучающая наиболее общие ее закономерности. Задача физики состоит в установлении количественных соотношений, описывающих с некоторой точностью то или иное явление.
2. Связь физики с другими естественными науками состоит в том, что предмет их исследования - единый объективный мир. Физика использует количественный аппарат математики и открывает законы, на основе которых развивается техника. Без измерительных приборов, созданных на физических принципах, не могут обойтись все естественные науки.
|
|
|
3. Физика и философия. В философии, обобщающей знания естественных наук, идет постоянная борьба двух направлений - материалистического и идеалистического. Материализм утверждает, что мир существует объективно, не зависит от наших чувств и может познаваться человеческим разумом. Идеалисты считают мир совокупностью наших ощущений и потому сводят задачу естественных наук к изучению этих ощущений. А мир, по их мнению, не познаваем, ибо не известно, что скрывается за нашими ощущениями.
Занятия физикой приводят естествоиспытателей, как правило, к материализму. Диалектический материализм утверждает, что материя есть объективная реальность, данная нам в ощущении. Способом существования материи является непрерывное движение.
Для физики материя - объект исследования. Физическая материя подразделяется на две физические формы: вещество (есть масса покоя, например, протон, электрон) и поле (нет массы покоя, например, фотон).
Философское понимание материи отличается от физического тем, что материя как философская категория включает в себя все объекты мира, в том числе и непознанные еще человеком, тогда как физика оперирует лишь с теми объектами материи, которые в той или иной мере доступны исследованию.
|
|
|
4. По методам исследования физика делится на экспериментальную и теоретическую. Экспериментальная измеряет (ставит эксперименты), теоретическая – осмысливает эксперимент и строит математическую модель явлений. Физика исследует лишь те объекты, где возможно инструментальное измерение.
5. Учебная дисциплина "Общий курс физики" или, что то же самое, "Курс общей физики" понимается как последовательное изложение основных физических законов и принципов, полученных в эксперименте, и основных теоретических моделей, построенных на этих принципах с использованием достаточно простого математического аппарата. Курс делится на 5 семестровых частей: а. Механика, б. Термодинамика и молекулярная физика, в. Электричество, г. Волновая оптика, д. Квантовая физика.
ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА
Литература
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики. T.I, Механика. М.., Наука, 1989.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. T.I. М., Наука, 1979.
3. Архангельский М.М. Курс физики. Механика. М., Просвещение, 1975.
4. Стрелков С.П. Механика. М., Наука, 1975.
5. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М., Наука, 1971.
Введение
1. Физические модели. При построении теории физика заменяет реальные объекты их идеализированными моделями. Если физический объект имеет бесконечное количество свойств, то его модель есть абстрактный образ, наделенный одним или несколькими свойствами, наиболее важными у данного объекта в изучаемом явлении.
|
|
|
Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца наиболее важное свойство Земли - её масса. Рельеф, цвет, температура, состав и другие свойства Земли в данном явлении несущественны. Поэтому при построении теории движения Земли вокруг Солнца реальный объект - Земля - с её бесчисленными свойствами заменяется её идеальной моделью, у которой лишь одно свойство: она имеет массу, равную массе Земли. Такая модель называется материальной точкой.
Уравнения физики – количественные модели явлений, хотя и облечены в точные формы математических формул, лишь приближенно описывают свойства и поведение реальных объектов. Степень приближения, границы применимости моделей определяются экспериментом.
2. Механикой называют раздел физики, изучающий изменение с течением времени положения тел или их частей в пространстве. Словом "механика" обозначают сейчас обычно так называемую "классическую механику", в основе которой лежат законы Ньютона.
|
|
|
Классическая механика имеет дело с тремя моделями: материальной точкой, твердым телом и сплошной средой. Поэтому механику можно определить ещё как способ описания тех физических объектов и явлений, к которым применимы модели "материальная точка", "твёрдое тело" и "сплошная среда".
В зависимости от основной применяемой модели различают три крупных раздела механики: механика материальной точки, механика твердого тела, механика сплошной среды.
ГЛАВА I. МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА
Кинематика точки. Основные понятия
1. Кинематика (от греч. kinema – движение) - раздел механики, изучающий геометрию движения тел без учета причин движения. Кинематика использует понятия: пространство, время, тело отсчета, система координат, система отсчета, перемещение, траектория, скорость и ускорение.
2. Тело отсчета - это произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение точки и описывается её движение.
Для количественного описания положения и движения точки используется система координат (СК), жёстко связанная с телом отсчёта.
Прямоугольная (декартова) СК (рис.1).
Положение точки М определяется здесь с помощью трех чисел (x, y, z), имеющих размерность длины.
|
ОX – ось абсцисс,
ОУ – ось ординат,
OZ – ось аппликат.
Точка О - центр СК. Единичные векторы (единичные орты) i, j, k, задают направления положительного отсчёта по осям.
Полярная СК применяется для исследования плоского движения точки (рис.2).
Одна координата, обычно обозначаемая буквами r или r – полярный радиус, другая, j - полярный угол. Точка О - полюс, OX - полярная ось.
Переход от полярной СК к декартовой осуществляется по формулам:
x = r×sinj , y = r×sinj. (3.1)
Выбор СК в общем случае произволен и делается так, чтобы описание движения точки было наиболее простым.
3. Система отсчёта –совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и часов. Не следует смешивать систему отсчета с системой координат. Если система координат – геометрический образ, то система отсчета, как правило, физическая реальность. Правда, в классической механике пространство и время не зависят друг от друга, поэтому смешивание этих понятий не приводит к количественным ошибкам в решениях задач, оно ограничивается лишь терминологической путаницей.
4. Траектория точки - это мысленный след от точки в пространстве. Траектория - непрерывная линия. Форма траектории зависит от выбора системы отсчета.
5. Кинематический закон движения точки - это уравнение, определяющее положение точки в пространстве в любой момент времени. Различают три способа написания кинематического закона движения (говорят, три способа задания движения): координатный, естественный, векторный. Рассмотрим их.
а. Координатный. Определяется тело отсчета, выбирается связанная с ним удобная для решения задачи система координат. Положение точки в пространстве определяется в любой момент времени тремя числами - координатами точки в выбранной СК. В декартовых координатах закон движения точки имеет вид: 
(3.2)
Если из уравнений можно исключить время t, то получается уравнение траектории точки.
Пример 3.1
На плоскости: x = t, y = 4t2 Þ y = 4x2
Если время t исключить из уравнений не удается, то форму траектории можно определить, подставляя в уравнения кинематического закона движения произвольные моменты времени t.
Пример 3.2 Таблица 3.1
|
| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| x | 4 | 5 | 4 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 | |
| y | 2 | 2.7 | 3.1 | 3.4 | 3.6 | 3.8 | 3.9 | 4.1 | |
| z | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Нанеся точки на график и соединив их линией, получаем графический образ траектории.
Продифференцировав закон движения точки по времени t, получаем проекции скорости на координатные оси.
(3.3)
После второго дифференцирования по t получаем проекции ускорения на оси.
. (3.4)
Умножив проекции скорости или ускорения на соответствующие единичные орты и сложив их, получаем выражения векторов скорости или ускорения.
(3.5)
Пример 3.3
Закон движения Проекции скорости Проекции ускорения
Вектор скорости v = i + 2j + 8tk, ускорения a = 8k.
Закон движения представляет собой 3 независимых друг от друга уравнения. Это значит, что движение тел по одной координате не зависит от движения по другой. Этот факт был установлен Галилеем и назван им принципом независимости движений.
Пример3.4 Тело брошено под углом к горизонту a со скоростью v0. Найти закон его движения.
Выбираем координатный способ описания. Прямоугольную систему координат располагаем так, чтобы ось ОY была противоположна вектору ускорения свободного падения g. Тогда ось ОХ будет перпендикулярна ему. Начало CК помещаем в точку бросания (рис.3). При этих условиях движение тела вдоль оси ОY есть движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0y = v0sina . Закон движения по оси ОY есть:
y = v0yt – 
.
Вдоль оси ОХ тело движется равномерно со скоростью v0x = v0cosa
Закон движения по оси ОХ есть: x = v0xt.
Итак: 
Задание: из закона движения тела, брошенного под углом к горизонту, найти уравнение траектории, проекции скорости и ускорения тела, векторы скорости и ускорения.
б. Естественный, или траекторный способ задания используется, когда известна траектория движения точки по отношению к выбранной системе отсчета. Этот способ удобен тем, что сводит описание движения к одномерному случаю. Из трех, в общем случае, уравнений остается одно.
На траектории, по которой движется точка М, выбирается точка О - начало отсчета, от которой отсчитывается смещение точки М вдоль траектории. Кроме того, выбирается положительное направление кривой. Оно задается единичным вектором касательной t (рис.4).
Скорость точки М всегда направлена по касательной к траектории. Проекция скорости v на траекторию положительна, если направление скорости совпадает с направлением единичного вектора касательной t, и отрицательна, если векторы v и t противоположны.
Закон движения имеет вид: s = s(t) (3.6)
Проекция скорости: 
. Вектор скорости: v = 
t. Проекция ускорения 
(3.7)
Пример3.5 Закон движения по кривой есть: s = t2 + 2cos4t.
Проекция скорости: = 4t - 8sin4t. Вектор скорости: v = (4t - 8sin4t)t.
Проекция ускорения: 
. Вектор ускорения 
Естественный способ задания часто используется тогда, когда траектория жёстко задана. Например, точка на ободе маховика при его вращении движется только по окружности (в системе отсчета, связанной с механизмом, куда входит маховик), рельсовые транспортные средства движутся по путям и т.д.
в. Векторный способ задания. Положение точки М по отношению к системе координат определяется вектором r, проведённым из центра СК в точку М. Такие векторы, проведенные из центра СК, называются радиусами-векторами (рис.5).
Траекторией точки М является в этом случае кривая, по которой движется конец радиуса-вектора r. Кривую, которую описывает конец радиуса-вектора r, называют ещё годографом радиуса-вектора.
Закон движения при векторном задании имеет вид: r = r(t). (3.8)
Вектор скорости: 
. (3.9)
Вектор ускорения: 
. (3.10)
Не следует смешивать понятия "смещение" и "вектор перемещения" Термин "смещение" используется при естественном задании движения точки. Смещение s эквивалентно координате x точки М при движении вдоль выбранной оси координат.
Термин "вектор перемещения" используется при векторном задании. Вектор перемещения Dr есть вектор, проведенный из положения точки М в какой-то момент времени t1, в положение точки в последующий момент времени t2. Очевидно, Dr = r(t2) - r(t1). Проекции вектора перемещения на оси координат дают перемещения вдоль осей Dx = x2 - x1, Dy = y2 - y1, Dz = z2 - z1.
И естественный, и векторный способы задания движения точки сводятся к координатному.
6. Путь. В практике часто применяется понятие "пройденный телом путь", под которым понимается сумма смещений по траектории, взятых по абсолютной величине.
При естественном задании путь удобно вычислять графически двумя способами.
Способ I. Способ 2.
Строится график смещения S (рис.6). Строится график проекции скорости (рис.7).
Путь есть сумма смещений, Путь есть сумма модулей площадей фигур
взятых по модулю S= 
. (на рисунке заштрихованы).
Перемещение по оси ОХ на рис.6 равно самой координате, т.к. движение началось из начала координат. Перемещение точки на рис.7 равно сумме площадей под графиком с учётом их знака.
7. Преобразования Галилея.При переходе от одной системы отсчета к другой координаты и скорости движения точки меняются.
Пусть есть две системы отсчёта К и К ¢. Выберем такую их взаимную ориентацию, чтобы скорость их относительного движения была направлена вдоль какой-либо оси, например, оси ОХ. На рис.8 оси ОХ и O¢X ¢ направлены вдоль одной прямой. Это упрощает поиски ответа на вопрос: как изменяются координаты и скорости точки при переходе от одной системы отсчета к другой.
Допустим, штрихованная система К ¢ движется поступательно вдоль оси O¢X ¢ относительно нештрихованной с постоянной скоростью V. Если координаты точки М в штрихованной системе есть x¢, y¢, z¢, то в нештрихованной их координаты есть:
Это преобразования Галилея для координат (3.11)
Время в обеих системах полагается независимым и одним и тем же.
Продифференцируем преобразования для координат по времени. Так как время в обеих системах одинаково, t = t¢, то
Преобразования Галилея для скоростей (3.12)
Формулы преобразований Галилея справедливы в случае, когда скорость относительного движения тел отсчета постоянна по величине и по направлению, V= const.
Если умножить уравнения преобразований Галилея для скоростей на соответствующие единичные орты, которые в случае нашего выбора ориентации осей СК одинаковы, i = i¢, j = j¢, k = k¢,и сложив уравнения, то получаем закон сложения скоростей в векторном виде:
vxi +vyj +vzk = v¢xi¢ +v¢yj¢ +v¢zk¢+ V или v = v¢ + V. (3.13)
Это выражение справедливо при любой ориентации осей систем координат и при любой скорости их относительного движения (как постоянной, так и переменной).
| Галилео Галилей (I564–I642) - итальянский учёный-физик, механик и астроном, один из основателей естествознания, поэт. В механике имя Галилея связано с открытием закона инерции, закона сложения движений. Он первый выдвинул идею об относительности движения (принцип относительности Галилея). Изучил свободное падение тел, движение тел по наклонной плоскости, движение тел, брошенных под углом к горизонту. Завершил разработку кинематики.
 Мы поможем в написании ваших работ! |