Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид : , где коэффициенты - заданные непрерывные на интервале функции (или постоянные числа), называется линейно однородной системой дифференциальных уравнений первого порядка. В векторной форме: dY/dx = AY, где .

Теорема о фундаментальной матрице решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод Эйлера).

23. Автономная система дифференциальных уравнений. Фазовые траектории. Фазовый портрет. Точки покоя.

Определение: автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде: В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами. Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу.

Фазовая траектория: Пусть x = φ(t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = φ(t) , t ∈ [a, b] — кривая в пространстве R_xⁿ . Данная кривая является фазовой траекторией. (Полагая, что выполнены условия существования и единственности задачи Коши).

Фазовый портрет: пространство R_xⁿ , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

Точки покоя: Точка a называется положением равновесия ( точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .

Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова и теоремы Ляпунова об устойчивости. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть некоторое фиксированное решение x = φ(t) этой системы существует при всех t ≥ t₀.

Решение x = φ(t) системы называется устойчивым по Ляпунову при t ≥ t₀ , если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε ) такое, что:

— решениеx = x(t) задачи Коши с начальным условием x(t₀) , |x(t₀) − φ(t₀) | < δ , существует при всех t ≥ t₀ ;

— для всех таких решений справедливо неравенство | x(t₀) − φ(t₀) | < δ , при всех t ≥ t₀ . Решение x = φ(t) называется неустойчивым по Ляпунову при t ≥ t₀ , если оно не является устойчивым по Ляпунову, т.е. если существует такое число ε > 0, что для любого δ > 0 найдутся решения x = x_δ(t) и такое t₁= t₁(δ), что |x_δ(t₀) − φ(t₀) | < δ и |x_δ(t) − φ(t) | ≥ ε.

Функция Ляпунова является скалярной функцией, которая используется, если имеется обыкновенное дифференциальное уравнение или система обыкновенных дифференциальных уравнений и необходимо исследовать устойчивость их решений с помощью второго (прямого) метода Ляпунова.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 438; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78

Мы поможем в написании ваших работ!