Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n – го порядка называется уравнение вида:

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянныхC₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n − 1,0} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функцияy = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 1,0} .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a;b] , а функцииy₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x) + y*(x),

где C₁,...,C_n — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

Задача состоит в вычислении какого–либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n- 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

с непрерывными на [a; b] коэффициентами и непрерывной правой частью.Предположим, что известна фундаментальная система y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) решений соответствующего однородного уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n- 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + ... + C_n(x) y_n(x) ,где C₁(x), C₂(x) , ... , C_n(x) — неизвестные, n раз дифференцируемые на [a; b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения. Справедливо следующее утверждение.

Пусть y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n- 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n- 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) непрерывна на [a; b], то его частное решение можно искать в виде y*(x) = y(x,C₁,..., C_n) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + ... + C_n(x) y_n(x) .

Неизвестные функции C₁(x), C₂(x) , ... , C_n(x) находятся из системы

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.(ВОПРОС19)

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = 0. Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — постоянные действительные числа.

Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx). Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:

y(x) = exp(λx),

y'(x) = λexp(λx),

y''(x) = λ²exp(λx),... ,

yⁿ(x) = λⁿexp(λx),

λⁿexp(λx) + a_n-1λ^n-1exp(λx) + ... + a₁λexp(λx) + a₀exp(λx) = 0,

exp(λx)(λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀) = 0. Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0.Уравнение λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени P_n(x) = λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ называется характеристическим многочленом уравнения. Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера). Для того чтобы функция y(x) = exp(λ₀x) была решением уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ₀ было корнем характеристического уравнения λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0. Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.

Если числа λ₁≠ λ₂≠ ... ≠ λ_n — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ₁x), exp(λ₂x), ..., exp(λ_nx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C₁exp(λ₁x) + C₂exp(λ₂x)+ ...+ C_nexp(λ_nx).

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1727; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!