Общее решение задачи различения

Проведём рассуждения для критерия идеального наблюдателя:

Ясно, что следует заниматься условными вероятностями.Рассмотрим вероятности ошибокразного вида по отдельности.

Шаг 1. Ограничим полосу, в которой рассматривается смесь сигнала с шумом пределами . Условие, при котором шум можно считать квазибелым: эта полоса более широкая, чем для сигнала.

Введем отсчёты по Котельникову с интервалом смеси, сигналов и шума. На интервале [0, T] их будет ограниченное количество , поэтому можно ввести N-мерное пространство, вкотором функции времени представлены векторами:

Геометрическая интерпретация задачи различения для разных случаев (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Шаг 2. Выражения для вероятностей ошибок

Подставимих в выражение для критерия

Шаг 3. Рассмотрим среднюю вероятность ошибок при условии, что был передан сигнал номер 1: .

Вероятность правильного решения при передаче сигнала номер 1 равна

где — интеграл по области 1 для .

В выражении для критерия добавим и вычтем выражение для

Так как сумма интегралов описывает вероятность полной группы событий, она равна единице,получим

Минимумсредней вероятности ошибок соответствует максимуму интеграла . Так как интегрирование производится по одной и той же областиX₁, можем перейти к подинтегральным выражениям, тогда получаем условие

Шаг 4. Выполним такие же преобразования при условии передачи сигнала номер 2. Получим аналогичное правило, которое можнообъединитьс первым

Это — алгоритм оптимального различения по критерию идеального наблюдателя. Легко обобщить на критерий Байеса, достаточно добавить веса неправильных решений.

Лк 29

Различение в стационарном когерентном канале

Стационарный канал: параметры канала не изменяются во времени: амплитуда постоянна. Когерентный: нет флуктуаций фазы.

Можно считать, что этот случай соответствует случаю СИП (амплитуда, частота, фаза). Шум — квазибелый гауссов: с ограниченным спектром . Нормальный закон распределения имеют как шум, так и смесьс сигналом.

Отсчёты по Котельниковус интервалом независимы, поэтому многомерная плотность вероятностей есть произведение одномерных

Одномерные плотности имеют вид

Для многомерной плотностb вероятностей получим

Энергетическое следствие теоремы Котельникова:

Сумму квадратов отсчетов заменяем интегралом по непрерывной функции

Подставим в решающее правило

Сокращаем на , раскрываем скобки и логарифмируем

Получили правило

В цифровых РТСПИ вероятности передачи нулей и единиц одинаковы и равны 0,5: либо по характеру сообщений, либо в результате специального кодирования для устранения избыточности. Тогда логарифм исключается