Глава 2. Прямые методы решения систем линейных
Алгебраических уравнений
Итак, требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
Ax=b. (2.1)
Заметим, что везде речь будет идти только о случае когда матрица А – квадратная, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, причем будет предполагаться, что система (2.1) имеет единственное решение.
Методы решения (2.1) можно разделить на две группы: прямые методы (в которых нахождение решения заканчивается за конечное число действий), итерационные методы (в которых находятся не само решение, а некоторая последовательность векторов х(к) такая, что ).
Метод Гаусса
Рассмотрим классический метод Гаусса [2-11]. Сначала перепишем систему (2.1) в развернутой форме
(2.2)
Пусть а11¹0. Если а11=0, то поменяем местами первое и второе уравнения в (2.2), если а21¹0, то поменяем местами первое и третье уравнения и т.д. Все ai1 не могут равняться нулю, так как detA¹0. Тогда из первого уравнения системы (2.2) будем иметь
х1+a12х2+…+a1nхn=b1 , (2.3)
где a1j=a1j/a11 , (j>1), b1=b1/a11 .
С использованием уравнения (2.3) можно исключить х1 из всех оставшихся уравнений (2.2). В результате получим
(2.4)
где =aij-ai1a1j , =bi- ai1b1 , (i, j³2).
На этом первый этап процесса исключения заканчивается. Индекс (1) в коэффициентах , показывает номер первого этапа.
|
|
Переходя к второму этапу процесса исключения разделим первое уравнение в (2.4) на при ¹0, тогда получим
х2+a23х3+…+a2nхn=b2 , (2.5)
где a2j= / , (j>2), b2= / .
Далее с помощью уравнения (2.5), описанным выше способом, исключим все х2 из уравнений (2.4).
Продолжая далее, на к-ом этапе будем иметь уравнение, с помощью которого исключим к-ое неизвестное, т.е.
хк+aк к+1хк+1+…+aкnхn=bk , (2.6)
где aкj= / , (j³к+1), bк= / , (2.7)
= - aкj , = - bк , (i, j³к+1). (2.8)
Собирая уравнения (2.3)-(2.6), полученных на всех этапах получим систему уравнений с верхней треугольной матрицей
х1+a12х2+a13х3+…+a1nхn=b1 ,
х2+a23х3+…+a2nхn=b2 , (2.9)
………………………
хn=bn .
Таким образом, алгоритм решения СЛАУ классическим методом Гаусса состоит из двух шагов:
1) первый – прямой ход.
По формулам (2.7), (2.8) вычисляются коэффициенты aij и bi (i, j=1,…, n).
2) второй – обратный ход.
Определяются неизвестные xi по формуле (2.9), которую можно записать в виде
xi=bi - , (i=n, n-1,…,1).
Определение 2.1. Элементы а11, , …, ,… называются ведущими элементами.
|
|
Метод Гаусса с выбором главного элемента
При численных вычислениях на компьютере неизбежны ошибки округления, следовательно, есть возможность прекращения выполнения алгоритма или получение неверных результатов, если знаменатели дробей на каком-то этапе окажутся равными нулю или очень маленькими числами. Этого недостатка можно избежать, если использовать метод Гаусса с выбором главного элемента [11]. Рассмотрим систему уравнений
Запишем расширенную матрицу коэффициентов
. (2.10)
Среди элементов матрицы aij выберем наибольший по модулю, который называется главным элементом. Пусть им будет элемент aij и используя его вычислим множители
mk= -akj/ aij для всех k¹i .
Строка с номером i матрицы М, содержащая главный элемент, называется главной строкой.
Далее, производим следующее действие: к каждой неглавной строке прибавляем главную строку, умноженную на соответствующий множитель mk для этой строки. В результате получим новую матрицу, у которой j-й столбец состоит из нулей, кроме одного элемента. Отбрасывая этот столбец и главную i-ю строку, получим новую матрицу М(1) и повторяем ту же операцию, только с новым главным элементом, после чего получим матрицу М(2) и т.д.
|
|
Таким образом, построим последовательность матриц М, М(1), М(2),…, М(n-1), последняя из которых представляет двучленную матрицу – строку, её также считаем главной строкой.
Затем объединяем в систему все главные строки, начиная с последней, входящей в матрицу М(n-1). После некоторой перестановки строк они образуют треугольную матрицу эквивалентную матрице (2.10). На этом заканчивается – прямой ход.
Решив систему с треугольной матрицей, последовательно находим все неизвестные – обратный ход.
Замечание 2.1. При работе с матрицами большого порядка выбор главного элемента может оказаться достаточно трудоемкой задачей. Поэтому на практике, в качестве главного элемента, выбирают первую строку, а.в качестве главного элемента наибольший по модулю элемент этой строки.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 212; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!