Построение областей устойчивости

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 15Следующая ⇒

Понятие о D-разбиении.Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-го порядка, которое делением на коэффициент при переменном s с наивысшей степенью всегда может быть приведено к виду

, (3.125)

Представим себе n-мерное пространство, по координатным осям которого отложены коэффициенты уравнения (3.125). Это пространство называют пространством коэффициентов. Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют конкретные числовые значения коэффициентов уравнения (3.125) и соответствующий им полином n-топорядка. Уравнение (3.125) имеет nкорней, расположение которых на комплексной плоскости корней s зависит от числовых значений коэффициентов .

Если изменять коэффициенты уравнения (3.125), то его корни в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов будут перемещаться в комплексной плоскости корней, описывая корневые годографы.

Чтобы представить сказанное выше геометрически, рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка(n = 3)

(3.126)

Если взять три взаимно перпендикулярные оси и откладывать по ним значения коэффициентов a_la₂, а₃,то получим трехмерное пространство коэффициентов, каждой точке которого соответствуют вполне определенный полином третьей степени и вполне определенные три корня в комплексной плоскости корней s(рис. 3.28a).

Рис. 3.28. Трехмерное пространство коэффициентов.

Например, точке М,имеющей координаты ,соответствует полином

(3.127)

имеющий три корня в плоскости корней (рис. 3.27а). Другой точке, например N,имеющей координаты ,соответствует полином

, (3.128)

корни которого и. т. д.

При некотором значении коэффициентов уравнения (2) один из корней попадает в начало координат или пара корней попадает на мнимую ось, т. е. корни его будут иметь вид 0 или и, следовательно, соответствующая точка в пространстве параметров будет удовлетворять уравнению

(3.129)

Этому уравнению при — ∞ < ω< ∞ соответствует некоторая поверхность S, часть которой показана на рис. 3.28б.

При изменении коэффициентов корни характеристического уравнения также изменяются и попадают на мнимую ось тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадет на поверхность S. При пересечении такой поверхности S корни переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следовательно, поверхность S разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует определенное одинаковое число правых и левых корней. Эти области обозначают D(m),где m— число правых корней характеристического уравнения. Разбиение пространства коэффициентов на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой области и выделение среди полученных областей области устойчивости называют методом D-разбиения.

Для характеристического уравнения третьего порядка в пространстве коэффициентов можно наметить четыре области: D(3), D(2), D(1), D(0). Последняя область D(0) будет областью устойчивости.

Если изменяются не все коэффициенты, а часть из них,

например два—а₁ и а₂ при a₃ = const, то вместо поверхности получим линию, которая является сечением поверхности S плоскостью а₃= const. Эта линия разделит плоскость коэффициентов а₁ — а₂на области с одинаковым числом правых корней (рис. 3.29).

Рис. 3.29. Плоскость коэффициентов а₁ — а₂

Для уравнений более высокого порядка (n> 3) вместо обычного трехмерного пространства получаются многомерное пространство и гиперповерхности, разбивающие это пространство на области, что сильно усложняет задачу, а рассмотрение теряет наглядность.

Так как переход через границу D-разбиения в пространстве коэффициентов соответствует переходу корней характеристического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы D-разбиения в общем случае

(3.130)

Из (4) видно, что уравнение границы D-разбиения может быть получено из характеристического уравнения системы заменой s= jω. Границу D-разбиения можно строить не только в пространстве коэффициентов a_iхарактеристического уравнения, но и в пространстве параметров системы (постоянных времени, коэффициентов усиления и т. д.), от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 475; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 10 11 121314 15 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!