Критерий устойчивости Найквиста
Пусть передаточная функция разомкнутой системы
m ≤ n. (3.107)
Подставляя в (3.107) s = jω, получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы:
, (3.108)
где U(ω) и Y(ω) — действительная и мнимая части частотной передаточной функции соответственно; модуль А(ω) и фаза φ(ω) частотной передаточной функции равны:
; 
. (3.109)
Если изменять частоту ω от —∞ до ∞, то вектор W(jω) будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы (рис. 3.13).
Рис. 3.13. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
Амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивают только ту часть ее, которая соответствует положительным частотам ω > 0 (сплошная линия на рис. 3.13), а ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам ω < 0 (пунктирная линия на рис. 3.13), может быть найдена как зеркальное отражение ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси. Рассмотрим вспомогательную функцию:
(3.110)
- характеристический полином замкнутой системы;
— характеристический полином разомкнутой системы;
— полином степени m.
Заметим, что так как в реальных системах степень полинома R(s) не выше степени полинома Q(s), т. е. m ≤ n, то степени числителя и знаменателя дроби (3.110) одинаковы и равны n.
|
|
|
Подставляя в (3.110) s = jω, получим
(3.111)
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы D(s) = 0 имеет m правых корней и n—m левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы Q(s) = 0 имеет l правых и n— l левых корней.
При изменении частоты ω от — ∞ до ∞ изменение угла поворота вектора φ(jω) на основе принципа аргумента будет
| ω =
ΔArg φ(jω) = ΔArg D(jω) - ΔArg Q(jω) =
| ω = - ∞
=π[(n-m)-m]-π[(n-l)-l]=2π(l-m) (3.112)
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т. е. m = 0. Отсюда суммарный поворот вектора φ(jω) устойчивой системы вокруг начала координат должен быть равен
| ω = ∞
ΔArg φ(jω) = 2πl , (3.113)
| ω = - ∞
где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
|
|
|
Обычно рассматривают только положительные частоты (ω > 0), в этом случае угол поворота вектора φ(jω) будет вдвое меньше, т. е.
| ω = ∞
ΔArg φ(jω) = πl = 2πl/2 , (3.114)
| ω = - ∞
Рассмотрим следующие случаи:
1. Если разомкнутая система является неустойчивой и имеет l правых корней, то замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика вспомогательной функции 
при изменении частоты ω от 0 до ∞ охватывает начало координат в положительном направлении 
раз.
Легко заметить, что число оборотов вектора 
вокруг начала координат равно числу оборотов вектора W(jω)) вокруг точки (—1, j0).
На основании сказанного вытекает следующая формулировка критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) при изменении частоты ω от 0 до ∞ oхватывала точку (—1, j0) в положительном направлении 
раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
|
|
|
Рис. 3.14. Амплитудно-фазовые характеристики функций (а) и W(jω) (б).
На рис. 3.14 а показана амплитудно-фазовая характеристика , а на рис. 3.14 б — амплитудно-фазовая характеристика W(jω), соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число правых корней l = 2. Обычно в реальных системах W(jω) = 0, и поэтому φ(jω) = 1. (3.115)
|ω = ∞ |ω = ∞
Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы W(jω) через отрезок вещественной оси (—∞, — 1) при изменении частоты ω от 0 до оо была равна , где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
|
|
|
2.Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т. е. l = 0, то приращение аргумента вектора равно нулю:
| ω = ∞
ΔArg φ(jω) = 2πl = 0. (3.116)
| ω = - ∞
Это означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не охватывала начало координат (рис. 3.16а), а амплитудно-фазовая характеристика W(jω) не охватывала точку с координатами (—1, j0), (рис. 3.16 б).
Рис. 3.16. Амплитудно-фазовая характеристика W(jω)
Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) не охватывает точку (—1, j0).
3.Разомкнутая система на границе устойчивости.Характеристический полином такой системы имеет нулевые иличисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественныечасти.
Если число нулевых корней ν, то АФЧХ при ω = 0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол 90°ν по часовой стрелке. Если есть парачисто мнимых корней (в знаменателе частотной передаточной функцииимеется множитель 
), то АФЧХ при частоте 
дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол 180° по часовой стрелке.
В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимои достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ω от 0до ∞, дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиусане охватывала точку (—1, j0).
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 499; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!