Дифференциальные уравнения высших порядков

3.2.1 Дифференциальные уравнения вида

(задание 9)

Найти общее решение дифференциального уравнения второго рода, используя соответствующую замену.

Частным случаем дифференциальных уравнений вида являются уравнения вида .

Для решения необходимо понизить порядок дифференциального уравнения, проинтегрировав правую и левую его части . Полученное уравнение необходимо снова проинтегрировать.

Пример 41

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Дифференциальные уравнения вида (или вида ) решаются с помощью замены , где новая неизвестная функция. Тогда . Исходное уравнение примет вид дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 42

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Пример 43

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

– уравнение Бернулли,

, ,

. ,

Так как , то общее решение уравнения Бернулли будет иметь вид или .

Заменим и получим , откуда . Найдём этот интеграл отдельно.

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение имеет общее решение

3.2.2 Дифференциальные уравнения вида

(задание 10)

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения второго рода, используя соответствующую замену.

Пример 44

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения , .

Решение

, или ,

, ,

. ,

Можно заметить, что случай (когда ) является частным случаем дифференциального уравнения . Таким образом, мы получили одно общее решение исходного дифференциального уравнения. Для упрощения нахождения окончательного ответа, можно на данном этапе воспользоваться дополнительным условием задачи Коши, а именно . Подставим в уравнение значения , и получим , откуда .

Теперь, воспользуемся подстановкой .

Заменим и получим .

В полученное уравнение остаётся подставить дополнительное условие задачи Коши (или при ), то есть получим равенство , откуда найдём .

Итак, частное решение задачи Коши для искомого уравнения имеет вид .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(задание 11)

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение вида , где числа (причём ), называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где числа, а и частные решения, образующие фундаментальную систему решений.

Фундаментальную систему и образуют в случае, когда отношение .

Эйлером было предложено частное решение искать в виде , где . Тогда , . Подставив в уравнение , получим

Из последнего уравнения получим , это равенство называется характеристическим уравнением. В зависимости от корней этого уравнения, общее решение находится тремя способами.

1. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два различных вещественных корня и . Тогда общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

2. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два одинаковых вещественных корня . Тогда общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

3. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два комплексных корня. Пусть , где , . Тогда корни характеристического уравнения будут равны . Общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в этом случае имеет вид

Замечание: характеристическое уравнение можно получать, делая следующие замены , , .

Пример 45

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , следовательно, получаем случай 1.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

Пример 46

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , (то есть квадратный трёхчлен является полным квадратом , ), следовательно, получаем случай 2

Пример 47

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , тогда , – комплексные корни, следовательно, получаем случай 3 .

Пример 48

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда .

Решения уравнения , – различные вещественные корни, следовательно, получаем случай 1.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 49

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда или – комплексные корни, следовательно, получаем случай 3.

Пример 50

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда или , – различные вещественные корни, следовательно, получаем случай 1.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 266; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!