Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат
Возьмём на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведём луч Ох (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берётся радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:
1. числом 
– полярный угол (он имеет положительное значение при повороте против часовой стрелки);
2. положительным числом 
– полярный радиус.
Пара чисел 
– это полярные координаты точки М.
Каждой паре значений отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное 
.
а) б)
Рис. 6
Связь между полярными и прямоугольными координатами
Из треугольника OMK (рис. 6а) получаются следующие соотношения:
– переход из декартовой в полярную систему координат
, 
;
– переход из полярной в декартову систему координат
, 
, 
.
Вычисление площади фигуры в полярной системе координат
Площадь сектора, ограниченного кривой 
, лучами 
, 
, где 
(рис. 6б), находится по формуле 
.
Пример 28
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
.
Решение
Чтобы найти пределы интегрирования 
и 
, необходимо построить график кривой в полярных координатах. Результаты вычислений занесем в таблицу 3.
|
|
|
Таблица 3
|
| 0 | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0 | 10 | 
| 0 | -10 | 0 |
| 10 | 0 |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| |
|
| -10 | 
| 0 | 10 | 0 |
| -10 | 0 | |
По данным этой таблицы построим график функции, откуда видим, что площадь искомой фигуры 
.
Рис. 7
Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных линией, заданной параметрически
Пусть функция задана в виде системы 
Правые части системы зависят от одного и того же аргумента 
. При одном и том же значении получаем определённые значения 
и 
. На плоскости это будет определённая точка 
.
Придавая различные значения из областей определения и , на плоскости получим множество точек, которые образуют график функции 
Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями 
, 
, прямыми 
и отрезком 
оси Ох, то её площадь вычисляется по формуле
где 
и 
определяются из равенства 
Пример 29
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
,
Решение
Рис. 8
Иными словами, необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя арками циклоиды и прямой . Из графика видно, что 
. Найдём пределы интегрирования и .
Нижний предел интегрирования (точка М на графике) находится из системы уравнений
|
|
|
Итак, 
Верхний предел интегрирования (точка N на графике) находится из системы уравнений
Итак, 
Предварительно найдём 
.
Пример 30
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
Решение
Рис. 9
Иными словами, необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху эллипсом, а снизу – прямой . Из графика видно, что 
. Найдём пределы интегрирования и .
Нижний предел интегрирования (точка М на графике) находится из системы уравнений
Итак, 
Верхний предел интегрирования (точка N на графике) находится из системы уравнений
Итак, 
Предварительно найдём 
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1225; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!