Метод решения интегралов, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе (задание 4)

Решение

[таблица 1, формула №13^*]

Проверка

Решение

[таблица 1, формула №15]

Проверка

Решение

[таблица 1, формула №16]

Проверка

Определённый интеграл и его приложения

Основные понятия

Пусть на отрезке  задана функция . Разобьём этот отрезок на  частей точками . На каждом малом отрезке , где , выберём точку , найдём значение функции в этой точке  и составим сумму , где .

Сумма  называется интегральной суммой для функции  на .

Определённым интегралом от функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего частичного отрезка  стремится к нулю ,

где нижний предел интегрирования;

верхний предел интегрирования;

подынтегральная функция;

подынтегральное выражение.

Замечание: определённый интеграл есть число.

Свойства определённого интеграла

Свойства определённого интеграла аналогичны свойствам неопределённого интеграла. Дополнительные свойства:

1. , где ;

2. ;

3.

4. Пусть функция  непрерывна на , тогда существует по крайней мере одна точка  такая, что выполнено равенство . Здесь  называется средним значением функции.

Способы вычисления определённого интеграла:

1. Теорема Ньютона-Лейбница.

Пусть  непрерывна на отрезке  и  одна из её первообразных, тогда справедлива формула

Решение

2.Замена переменной.

 Необходимо вычислить интеграл , где  непрерывная функция на . Перейдем к новой переменной , полагая . Пусть , кроме того, при изменении  от  до  значения функции  не выходят за пределы отрезка . Предположим, что функция  непрерывно дифференцируема на промежутке , то справедлива следующая формула замены переменной .

Решение

3. Формула интегрирования по частям.

Пусть  и  - непрерывные функции вместе со своими первыми производными на , тогда справедлива формула интегрирования по частям

Решение

Вычисление площадей плоских фигур

(задание 5)

С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция , причём . Фигура, ограниченная сверху графиком , снизу – осью Оx, сбоку прямыми ,  (рис. 1а), называется криволинейной трапецией.

Геометрическим смыслом определённого интеграла являетсяплощадь криволинейной трапеции, вычисляемая по формуле

.

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции , а сбоку прямыми ,  (рис 1.б), то её площадь вычисляется по формуле

.

Частным случаем при этом является нахождение площади фигуры, ограниченной сверху осью Оx, снизу – графиком функции , а сбоку прямыми ,  (рис 1.в). В этом случае, в предыдущую формулу следует подставлять , тогда формула для вычисления площади такой фигуры имеет вид

.

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций (рис. 1г).

,   где , .

  а)                      б)                      в)                     г)

Рис. 1

Пример 25

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций , .

Решение

1. Вершиной параболы  является точка

2. Точки пересечения параболы и прямой находятся из системы

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

4. Сверху фигура ограничена прямой , значит , снизу – параболой, значит .

По графику видно, что , .

1способ: площадь полученной фигуры можно вычислить по формуле:

               Рис. 2

2 способ: полученная фигура симметрична, значит

Пример 26

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми ,  и осью Оx.

Решение

1. Вершиной параболы  является точка

Замечание: координаты вершины параболы ,  находятся по формулам

2. Точка пересечения параболы и прямой  находится из системы

а с прямой  находится из системы

Точки пересечения параболы с осью Оx ( ) находятся из системы

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

 

4. Площадь искомой фигуры  складывается из площадей  и .

            Рис. 3            

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена слева осью Oy, справа – графиком функции , а снизу и сверху прямыми ,  соответственно (рис. 4а), то её площадь вычисляется по формуле

.

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена слева графиком функции , справа – графиком функции , а снизу и сверху прямыми ,  соответственно (рис. 4б), то её площадь вычисляется по формуле

.

 

 

                 а)                                          б)

Рис. 4

Пример 27

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой  и осями координат.

Решение

1. Вершиной параболы  является точка

Замечание: координаты вершины параболы ,  находятся по формулам

2. Точка пересечения параболы и прямой  находится из системы

с осью Оx ( ):

с осью Оy ( ): нет решения

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

 

 

 

 

Рис. 5

4. Слева фигура ограничена параболой, справа – осью Oy, снизу – прямой , сверху – осью Оx Таким образом, подставляя в формулу 6: , , , , получим

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 541; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!