Оптимизация амплитудной характеристики
Рис. 5. Частотные выборки фильтра нижних частот, включая три выборки в полосе перехода. Примечание: поскольку амплитудная характеристика симметрична, показана только половина характеристики фильтра
Описанная выше задача сродни задаче с прямоугольной весовой функцией. Напомним, что в методе взвешивания можно пожертвовать более широкой полосой передачи для улучшения амплитудной характеристики. Чтобы улучшить амплитудную характеристику фильтров, полученных по принципу частотной выборки, можно отказаться от более широкой полосы перехода и ввести в полосу перехода дополнительные частотные выборки. На рис. 5 приведена типичная спецификация фильтра нижних частот с тремя частотными выборками в полосе перехода. Для фильтра нижних частот затухание в полосе подавления увеличивается приблизительно на 20 дБ для каждой частотной выборки в полосе перехода с соответствующим увеличением ширины перехода:
приблизительное затухание в полосе подавления (25 + 20М) дБ,
приблизительная ширина перехода (М + 1)F3/N.
Здесь М – число выборок в полосе перехода, N – длина фильтра.
Значения выборок в полосе перехода, которые дают оптимальное затухание в полосе подавления, определяются через процесс оптимизации. Полезной целью оптимизации является поиск значений выборок в полосе перехода, T1 ,T2 ... ,ТM, которые минимизируют максимальную неравномерность в полосе перехода (т.е. максимизируют затухание в полосе подавления). Математически это можно сформулировать так:
|
|
|
минимизировать T1 ,T2 ... ,ТM 
,
где 
и 
– идеальная и реальная частотные характеристики фильтра соответственно; W – весовой коэффициент.
В большинстве случаев значения частотных выборок в полосе перехода обычно принадлежат следующим диапазонам: для одной частотной выборки в полосе перехода
0,250 < T1 < 0,450;
для двух частотных выборок в полосе перехода
0,040 < T1 < 0,150,
0,450 < Т2 < 0,650;
для трех частотных выборок в полосе перехода
0,003 <Т1 < 0,035,
0,100 <Т2 < 0,300,
0,550 <T3 < 0,750.
Более низкие значения используются в фильтрах с более широкими полосами и дают большее затухание в полосе подавления.
Рекурсивные фильтры частотной выборки
Фильтры частотной выборки в рекурсивной форме значительно выгоднее вычислительно, чем фильтры в нерекурсивной форме, если значительное число частотных выборок имеет нулевые значения. Можно показать, что передаточную функцию КИХ-фильтра H(z) можно записать в рекурсивном виде:
где:
, 
Таким образом, очевидно, что в рекурсивной форме H(z) можно рассматривать как каскад из двух фильтров: гребенчатого фильтра H1(z), который имеет N нулей, равномерно распределенных на единичной окружности, и суммы N фильтров с одним полюсом H2(z). Нули гребенчатого фильтра и полюса однополюсных фильтров совпадают на единичной окружности в точках zk = eiπk/N. Следовательно, нули компенсируют полюса, и поскольку H(z) не имеет полюсов, то это – конечная импульсная характеристика (КИХ).
|
|
|
На практике конечная длина слова приводит к тому, что полюса H2(z) располагаются не точно на единичной окружности, так что они уже не уравновешиваются нулями и H(z) становится потенциально неустойчивой бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Проблем устойчивости можно избежать, дискретизируя H(z) на окружности радиуса r, который незначительно меньше единицы. В этом случае передаточная функция становится такой:
Вообще, частотные выборки Н(к) – это комплексные величины. Следовательно, непосредственная реализация вышеприведенных уравнений потребует комплексной арифметики. Чтобы избежать этого усложнения, воспользуемся симметрией, присущей частотной характеристике любого КИХ-фильтра с действительной импульсной характеристикой h(n). Можно показать, что для обычного частотно-избирательного фильтра с линейной фазовой характеристикой (четно-симметричная импульсная характеристика) последнее уравнение можно представить в виде
|
|
|
где а = (N – 1)/2. При нечетном N М = (N – 1)/2, при четном N М = N/2 – 1.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!