Обратные системы и их пределы
Пусть даны:
a) произвольное множество 
,
b) упорядоченно (или квазиупорядоченное) отношение 
множество 
,
c) функция 
, такая, что 
для каждого 
,
d) функция 
, которую можно записать в виде 
или 
, где 
(1)
Пусть функция 
удовлетворяет условиям 
(2),
для каждого является равенством (3)
Система 
называется обратной системой. Обратным пределом этой системы, обозначенным 
или 
, называется подмножество произведения 
, состоящее из таких элементов 
, что
(4).
Пусть 
обозначает 
-ю координатную функцию , т.е. функцию 
, определенную равенством
(5)
тогда
(6)
Если даны две обратные системы : 
и 
и функция 
, т.е. 
, и диаграмма
| ||||
 
| 
| |||
|  
| 
| 
| |
| 
| 
| ||
|
Коммутативна, т.е. 
, если , то можно так определить отображение 
, чтобы диаграмма
|
| ||||
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| ||
|
Была коммутативна для каждого .
Для этого достаточно для каждого 
задать 
условием 
.
Легко доказать, что если - взаимно однозначное отображение множества на для каждого , то - взаимно однозначное отображение множества на .
Пример 1. Пусть множество упорядочено отношением равенства. Тогда 
.
Пример 2. Пусть множество направлено ( глава II, §5. Определение 2. Множество 
, упорядоченное (или квазиупорядоченное) отношением , называется направленным, если, для каждой пары 
, существует такое 
, что 
и 
.), 
для каждого и 
- тождественное отображение. Тогда является множеством всех констант 
.
|
|
|
Для доказательства заметим, что если 
, то существует такое 
, что 
и 
.
Отсюда 
, и тогда, согласно (4), 
. Аналогично 
, поэтому 
.
Пример 3. Множество 
всех отображений 
можно с помощью операции сужения 
представить как обратный предел множества 
, где 
. Для этого надо в качестве направленного множества взять множество 
, упорядоченное отношением включения, функцию 
задать равенством 
для и каждой паре 
поставить в соответствие функцию 
, определенную равенством 
, где 
.
Здесь роль множества в обратной системе играет множество 
всех сужений, т.е. 
.
Поставим в соответствие каждому элементу 
элемент 
, определенный условием 
.
Легко проверить, что 
, т.е. 
.
При этом 
отображает на все множество 
. Действительно, пусть 
, тогда 
для каждого 
. Определим условием 
. Легко видеть, что 
, т.е. 
для 
.
Наконец, отображение взаимно однозначно. Действительно, если 
, то существует такое 
, 
, т.е. 
. Следовательно, 
, так что 
.
Следует отметить, что все эти рассуждения остаются в силе, если и 
- метрические пространства. Тогда будет семейством компактных подмножеств пространства , а - семейством непрерывных отображений 
.
|
|
|
Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
Утверждения, доказанные в предыдущих параграфах этой главы, можно рассматривать как термины о решетке . Как мы знаем, эта решетка полна и является булевой алгеброй. Естественно возникает вопрос, можно ли обобщить термин №1 на произвольные решетки, полные решетки, булевы кольца.
Предположим сначала, что 
- произвольное упорядоченное множество и 
. Тогда справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1-3 §1.
Теорема 1. Наименьшая верхняя грань 
(наименьшая нижняя грань 
), если она существует, является единственным элементом множества 
, удовлетворяющим условиям:
(соответственно 
).
Теорема 2. Если 
и для каждого 
существует наименьшая верхняя грань 
, и если существует наименьшая верхняя грань , то существует наименьшая верхняя грань 
. Аналогично для наибольших нижних граней.
Теорема 3. Если - перестановка множества и существует наименьшая верхняя грань , то существует также наименьшая верхняя грань 
. Аналогично для наибольших нижних граней.
|
|
|
Для произвольного упорядоченного множества можно доказать утверждение, аналогичное (3), § 1.
Теорема 4. Если существуют грани и , то 
для всех 
.
Формулы (4)-(11) § 1 не имеют аналогов в произвольных упорядоченных множествах.
Теорема 5. Если 
- решетка, 
и существуют наименьшие верхние грани 
, 
, то существует наименьшая верхняя грань 
и она равна 
. Аналогично для наибольших нижних граней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, 
для любого . Если 
, то 
. Поэтому 
и аналогично 
, откуда 
.
Условие, что - решетка, мы использовали в самой формулировке теоремы. Для произвольного упорядоченного множества мы не смогли бы говорить о 
и .
Теорема 6. Если - решетка и существуют наименьшие верхние грани 
и 
, то 
.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 229; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!