Операции на бесконечных последовательностях множеств
Здесь вы рассмотрим один частный случай, когда область определения функции совпадает с , т.е. функция представляет собой бесконечную последовательность множеств. По аналогии с рядами и бесконечными произведениями вещественных чисел будем писать:
, или , или вместо ;
, или , или вместо .
Из формул (2) §1 непосредственно получаем:
(1)
где - высказывательная функция 2х переменных, причем множество значений первой переменной ( ) ограничено множеством , и второй ( ) – некоторым множеством .
Кроме операций бесконечного сложения и умножения, рассмотрим ещё операции:
1) - верхний предел последовательности
(ср. - наименьшая верхняя грань );
2) - нижний предел последовательности
(ср. - наибольшая нижняя грань ).
Легко видеть, что элемент тогда и только тогда, когда он принадлежит бесконечному числу множеств , и тогда и только тогда, когда он принадлежит для почти всех значений , т.е. для всех, кроме конечного числа.
Очевидно, что в силу (18) §1, гл. II:
(2)
Если знак включения в (2) можно заменить знаком равенства, т.е. если верхний и нижний пределы совпадают, то их общее значение обозначают и называют пределом последовательности , а саму последовательность называют сходящейся.
Терминология эта аналогична терминологии, которой пользуются в теории вещественных чисел. Чтобы подчеркнуть эту аналогию, введем понятие характеристической функции данного множества.
|
|
Пусть дано 1 и . Характеристической функцией множества называется функция
(3)
Легко видеть, что для сходимости последовательности множеств (являющихся подмножествами данного множества 1) необходимо и достаточно, чтобы последовательность характеристических функций этих множеств сходилась к характеристической функции множества .
Понятие сходимости последовательности множеств обнаруживает очень интересные аналогии с классическими понятиями сходимости числовых последовательностей, если симметричную разность – двух множеств рассматривать как модуль разности двух чисел. Докажем, что условия
(4)
(4')
равносильны. В самом деле, условие (4) означает, что элемент принадлежит не более чем для конечного числа значений . Другими словами, для каждого существует такое n0 что из следует
(5)
Пусть , т.е. для бесконечного числа значений . Из (5) следует, что и для всех , т.е. . Таким образом, из (4) следует
, (6)
откуда в силу (2) получаем (4').
Обратно, если выполнено условие (6) и , то . Значит, для . Если же , то и тогда для . Таким образом, из (6) следует, что (5) выполняется для каждого и .
|
|
Докажем ещё несколько более специальных правил, относящихся к перестановке символов и , и замене двух подряд идущих операций или одной такой операцией.
Пусть функция определена на множестве , функция - на множестве и - на множестве , причем значениями этих функций являются множества. Будем пользоваться символикой, введенной в §3, гл. III.
; . (7)
Докажем только первое из этих равенств, т.к. 2-е доказывается аналогично.
Очевидно, что , поэтому . С другой стороны, если , то для каких-то , , а тогда , где .
Справедлива также формула
(8)
В самом деле, , поэтому , откуда в силу произвольности получаем
.
Если , то для каждого существует такое , что .
Полагая , получаем , следовательно .
Тем же методом, что и (7) можно доказать равенства
(9)
Далее
(º10)
В самом деле, , поэтому , откуда .
Для доказательства обратного включения возьмём и положим далее . Т.к. для каждого , то существует функция выбора для семейства всех множеств . Полагая , получаем, что и для каждого .
|
|
Из т.7 (§3, гл. III) следует, что существует такая последовательность , что для каждого . Тогда для каждого , т.е.
.
Выведем теперь из (7) – (10) формулу:
, (º11)
которая нам пригодится в гл. X.
Здесь - функция 4-х переменных, определенная на декартовом произведении , а значениями её являются множества.
Заменяя в равенстве (º10) на (где - произвольная, но фиксированная последовательность), получаем
.
Таким образом, левая часть равенства (11) равна . С помощью (7) и (9) получаем из этого выражения правую часть равенства (11).
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!