Декартовы произведения топологических пространств

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 17Следующая ⇒

Пусть для каждого t T является топологическим пространством. Обозначим через замыкание в пространстве множества . Таким образом, – такая функция, что для каждого t.

Очевидно, что существует много способов определения замыкания в пространстве , т.к. каждое множество можно превратить в топологическое пространство разными способами.

Опишем здесь некоторую специальную топологию пространства , введенную Тихоновым.

Пусть - конечное подмножество множества T, а - открытое множество в пространстве для каждого . Назовем окрестностью, определяемой множеством покрытыми множествами , подмножество декартова произведения .

Докажем, что произведение двух окрестностей либо пусто, либо тоже окрестность. В самом деле, если окрестность Г определена конечными множествами S и открытыми множествами , а окрестность определена конечными множествами и открытыми множествами , то

Таким образом, множество , либо пусто, либо является окрестностью, определяемым конечным множеством и открытыми множествами.

Определим замыкание множества как множество CX таких , что каждая окружность , содержащая , содержит по крайней мере один элемент множества :

(*)

Теорема 1. Декартово произведение представляет собой топологическое пространство относительно операции замыкания для .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы проверим, выполняются ли аксиомы (1)-(4) (гл. I , § 8). Аксиомы (3), (4) очевидны :

Аксиома (3) : ; аксиома (4): .

Аксиома 1. Пусть . Тогда каждая окрестность, содержащая , содержит хотя бы один элемент из . Значит, , а отсюда следует, что , и тогда . Аналогично , следовательно, .

Пусть теперь , . Тогда для каждой окрестности Г, содержащей f , и для некоторой окрестности , содержащей f . Если Г – правильная окрестность, содержащая f , то - также окрестность, содержащая f , и поэтому , откуда и тем более . Это значит, что .

Аксиома 2. ( ). Достаточно показать, что . Пусть и Г – производная окрестность, содержащая f. Следовательно, . Возьмем . Тогда Г – окрестность, содержащая g , и т.к. , то . Это значит, что выполняется условие (*) , и поэтому .

Приведем примеры декартовых произведений топологических пространств.

Пример 1. Множество Кантора. Так называется множество , т.е. декартова степень двухэлементного множества.

Если в множестве определить топологию, положив для каждого (дискретная топология), то станет топологическом пространством с топологией Тихонова.

Ставя в соответствие элементу вещественное число , получаем взаимно однозначное соответствие множества и множества вещественных чисел замкнутого интервала , имеющих в топологическом разложении только цифры 0 и 2.

Пример 2. Обобщенное множество Кантора . Это декартова степень . Топология Тихонова в этом множестве определяется так же, как для множества .

Обобщенное множество Кантора можно также определить как множество характеристических функций подмножеств множества . В действительности можно отождествить множества и . Поэтому в дальнейшем не будем трактовать множество как топологическое пространство. Аналогично можно отождествить элементы множества с отношениями над полями, содержащимися в , поскольку каждый элемент множества является характеристической функцией множества упорядоченных пар элементов из .

Tеорема 2. Семейство замкнуто и открыто в . Семейство замкнуто и открыто в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через окрестность в , определенную множеством и открытым множеством . Тогда и, значит, состоит из характеристических функций множеств, принадлежащих семейству . Таким образом, - открытое множество. Аналогично окрестность, определенная множеством и открытым множеством , состоит из характеристических функций множеств, составляющих семейство . Эта доказывает, что семейство замкнуто в .

Вторая часть теоремы следует из первой.

Пример 3. Пространство Бэра. Так называется декартова степень , т.е. множество бесконечных последовательностей натуральных чисел. Топология в - топология Тихонова, при чем операция замыкания в определяется равенством .

Если - последовательность из членов , то множество одновременно замкнуто и открыто в .

Это множество последовательностей , удовлетворяющих условиям для , т.е. оно совпадает окрестностью в , определенной множеством и открытыми множествами для .

Дополнение этой окрестности открыто , т.к. оно совпадает с суммой окрестностей, определенных множествами и открытыми множествами , .

Ставя в соответствие элементу число ,

Получим взаимно однозначные отображения пространства на множество иррациональных чисел открытого интервала (0,1).

Таким образом, можно отождествить пространство Бэра с множеством иррациональных чисел, удовлетворяющих условию .

Пример 4. Декартово произведение конечного числа пространств. Конструкция, описанная в этом параграфе, в одинаковой степени применима как к случаю, когда множество в формуле конечно, так и к случаю, когда это множество бесконечно.

Если - конечное множество, например , то декартово произведение , где для каждого множество открыто в , образует открытую базу в .

Если , где - множество вещественных чисел, то пространство называется n-мерным евклидовым пространством. Это пространство мы будем применять в дальнейшем только в некоторых примерах, т.к. в отличие от других рассмотренных выше пространств оно было определено не только с помощью понятий теории множеств.

В дальнейших главах мы будем пользоваться следующей теоремой.

Теорема 3. Если - декартово произведение топологических пространств (с топологией Тихонова), , для каждого замкнуто в , то также замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и . Тогда для некоторого . Окрестность точки , определенная одноэлементным множеством и открытым множеством , содержит и не пересекается с , что и т.д.

Теорема Тихонова.

Семейство R подмножеств множества называется центрированным, если пересечение любого конечного числа множеств из R не пусто, т.е. существует «центр».(НК)

Топологическое пространство называется компактным, если каждое центрированное семейство его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение. Это значит, что топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство открытых множеств, в сумме составляющих , содержит конечное подмножество, сумма множеств которого также равна .

Приведенная ниже теорема относится, собственно говоря, не к общей теории множеств, а к топологии.

Мы ее поместили здесь потому, что она имеет многочисленные приложения(между прочим, и в самой теории множеств), методы, применяемые в ее доказательстве, фактически не выводят нас из теории множеств.

°Теорема 1 (Тихонов). Если для каждого пространство компактно, то пространство также компактно (в топологии Тихонова).

При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться леммой, которую докажем только в главе 7, § 8.

°Лемма. Если R₀ - центрированное семейство подмножеств пространства , то существует максимальное центрированное семейство R , содержащее R₀, т.е. такое, что каждое семейство подмножеств пространства , отличное от R и содержащее R₀, содержит конечное подсемейство, имеющее пустое пересечение.

Воспользуемся следующими двумя свойствами центрированных максимальных семейств.

I. Если R и R, то R.

В самом деле, в противном случае семейство, полученное из R прибавлением к нему , не было бы центрированным, и, значит, содержало бы конечное подсемейство с пустым пересечением. Очевидно, что множество должно принадлежать этому подсемейству, а отсюда следует, что существует такое конечное подсемейство R' R, что , что противоречит центрированности семейства R.

II. Если и для каждого R, то R. В самом деле, в противном случае семейство R не было бы центрированным и, значит, существовало бы такое конечное подсемейство R' R, что . В силу свойства I произведение принадлежит R, вопреки тому, что для каждого R.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы Тихонова. Пусть R₀ теперь - центрированное семейство замкнутых подмножеств пространства . Обозначим через Rнекоторое центрированное максимальное семейство подмножеств пространства , содержащее R₀. Для доказательства теоремы достаточно показать, что .

Для произвольного множества обозначим через его проекцию на и положим R^t R}. Семейство R^t состоит из замкнутых подмножеств пространства . Если множества , , принадлежит R^t, при чем R, то , т.к. семейство R центрировано. Отсюда следует, что и тем более .

Значит, семейство R^t центрировано. Т.к. все контактны, то . Использую общий принцип выбора, получаем отсюда, что существует такая функция , что для каждого . Докажем, что .

Для этого возьмем множество из R и окрестность , содержащую . Надо показать, что .

Пусть определяется конечным множеством и открытыми множествами .

Очевидно, что для . Полагая , получим .

Если - произвольное множество из R, то , следовательно, . Поэтому существует такой элемент , что для некоторой функции и, значит, . Таким образом, для любого . Отсюда, согласно (II) получаем R, а согласно (I), R, т.е. R, откуда Таким образом, любая окрестность, содержащая , имеет общие элементы с , значит, .

Пример 1. Множества , , компактны.

Пример 2. Пусть - высказывательная функция, полученная из высказывательных функций

(*)

с помощью одних только операций исчисления высказываний. Также высказывательные функции назовем открытыми.

Пусть для и произвольной открытой высказывательной функции .

Множество одновременно открыто и замкнуто в . Действительно, для высказывательных функций (*) это следует из теоремы 2 (§ 6), а для других высказывательных функций – из связи между логическими теоретико-множественными операциями и просто замечания, что сумма, произведение и дополнение открыто-замкнутых множеств тоже открыты и замкнуты.

Пусть теперь - открытая высказывательная функция с переменными , и пусть - элементы множества . Из компактности множества следует

Теорема 2. Если для каждого произведение не пусто, то и бесконечное произведение непусто.

В этой теореме утверждается, что из существования отношений , удовлетворяющих условиям для , следует существование одного “универсального” отношения, удовлетворяющего всем этим условиям.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 707; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!