Теорема 3. Семейство содержит в качестве подмножеств каждое из семейств

Вообще говоря, никакие два из этих семейств не совпадают; кроме того, они не исчерпывают всего семейства .

Опишем теперь метод, позволяющий решить, принадлежит ли данное множество, определенное при помощи высказывательной функции, семейству .

Пусть - высказывательная функция, переменные пробегают множество . Положим , , где каждый из символов обозначает либо квантор всеобщности, либо квантор существования.

Теорема 4. Если для произвольных множество принадлежит , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу кванторов.

1) Если , то и тогда по условию.

2) Если теорема верна для квантора, то каждое из множеств принадлежит . Если - квантор существования, то , а если - квантор всеобщности, то . В обоих случаях и теорема доказана.

Наиболее интересный пример семейства получим если в качестве возьмём семейство замкнутых множеств произвольного топологического пространства . В этому случае называется семейством борелевских множеств пространства .

Пример. Докажем, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций есть множество типа .

Для этого запишем условие Коши сходимости последовательности вещественных чисел , , …, ,…:

Отсюда видно, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций , , ..., f_n, …, имеет вид:

Полагая

получаем

Т.к. (при фиксированных индексах) замкнуто (это следует из непрерывности рассматриваемых функций), то есть множество типа .

Обобщённые декартовы произведения.

Пусть (как в §1) – функция, значениями которой являются подмножества множества , а областью определения – множество .

О п р е д е л е н и е. Декартовым произведением называется множество таких функций с областью определения , что для каждого :

, где .

Если , то вместо пишут . Элементами этого декартова произведения будут такие последовательности , что для .

Если все сомножители равны, , то . Здесь - множество функций с областью определения и множеством значений . Множество называется декартовой степенью множества .

Для обозначим через проекцию множества на , т.е. . Очевидно, что для каждого .

Замечание. Пусть . Декартовы произведения и не совпадают. Первое имеет в качестве элементов последовательности длины 2, второе – упорядоченные пары, а это различные понятия. Однако в действительности различие между этими двумя произведениями не существенно, потому что каждой упорядоченной паре можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность . Если для некоторого , то .

В самом деле, если , то , т.е. .

Теорема 1. Если - конечное множество и для каждого , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу элементов множества . Если имеет один элемент, то теорема очевидна. Предположим, что теорема взята в случае, когда имеет элементов. Пусть , где .

Пусть для . Докажем, что . Возьмём и . Тогда множество будет функцией, принадлежащей , следовательно, множество непусто.

Теорема 1 распространяется также на случай произвольного , если все сомножители совпадают.

Теорема 2. Если , то .

В общем случае доказательство того, что декартово произведение непустых множеств непусто, требует аксиомы выбора.

ºTеорема 3. Если для , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Элементами множества будет функция выбора для семейства .

Пользуясь декартовыми произведениями (например в алгебре, топологии и т.п.), мы обычно сталкиваемся со случаями, когда на множествах определены некоторые операции или отношения или когда множества являются топологическими пространствами. Рассмотрим сначала случай, когда на каждом множестве определена только одна операция – для удобства будет считать её бинарной.

Другими словами, кроме функции , задана такая функция двух переменных, что для каждого .

Функция определяет бинарную операцию на элементах декартова произведения :

, где .

Таким образом, - такой элемент декартова произведения, что для всех . Операция называется декартовым произведением операций .

Аналогично определяется декартово произведение отношений. Пусть - такая функция, что (для каждого ) есть отношение над полем, содержащимся в .

Декартовым произведением отношения называется такое отношение над полем, содержащемся в , что .

Здесь надо заметить, что - двуместное отношение, т.е. множество упорядоченных пар, в то время как - множество функций. Однако можно естественным образом поставить в соответствие декартову произведению отношение между функциями , которое выполняется тогда и только тогда, когда функция , определенная равенством (т.е. функция ), принадлежит . Это отношение совпадает с отношением .

Очевидно, что все эти определения без труда переносятся на случай, когда на каждом множестве задача не одна, а произвольное число операций (или отношений).

Пример. Предположим, что - булево кольцо относительно операций и элементов . Обозначим через декартовы произведения операций , а через и такие функции, что и для всех .

Теорема 4. Декартово произведение является булевым кольцом относительно операций и элементов и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить справедливость аксиомы булевой алгебры (I – V', §9, гл. I). Проверим, например, справедливость (IV). Пусть . По определению - это такая функция , что для каждого . Т.к. для аксиома (IV) верна, то и, значит, .

Булево кольцо называется декартовым (или прямым) произведением булевых колец .

Аналогично определяется прямое произведение группы колец и других алгебраических систем.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 332; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!