Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции
Пусть 
- некоторое фиксированное множество, 
- функция произвольного числа переменных, каждое из которых пробегает какое-нибудь семейство подмножеств множества .
Для простоты изложения будем считать, что - функция 2-х переменных, т.е. областью её определения является декартово произведение 
. Семейство 
называется замкнутыми относительно , если
.
Теорема 1. Для каждого семейства 
существует такое семейство 
, что
a) 
,
b) Семейство замкнуто относительно операции ,
c) Семейство - наименьшее из семейств, обладающих свойствами a) и b), т.е. если для 
выполнены условия
, 
, (1)
то 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 
- множество всех семейств , для которых выполняется (1). 
, т.к. 
. Искомым семейством будет произведение 
.
Семейство , обладающее свойствами a) – c), определяется однозначно. Действительно, если 
обладает этими свойствами, то из минимальности семейства (свойство c)) получает 
. Аналогично, 
, т.к. также обладает свойством c). Следовательно, 
, мы будет обозначать это 
семейство 
.
Теорема 2. Для произвольных семейств 
, , выполняются следующие условия:
I. 
,
II. 
,
III. 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. I) Следует из теоремы 1 (свойство a)). II) следует из того, что 
замкнуто относительно и содержит , значит, в силу минимальности 
. Для доказательства III заметим, что из условия I следует 
, с другой стороны, замкнуто относительно , поэтому .
.
Теорема 1 и теорема 2 имеют свои аналоги для случая, когда дана не одна функция , а произвольное семейство таких функция, и - наименьшее семейство, содержащее и замкнутое относительно всех функций. Областями определения этих функций могут быть последовательности подмножеств или даже семейства подмножеств множества . Мы не будет останавливаться на этих обобщениях.
Пример 1. Пусть - обозначает сложение множеств, т.е. 
. Наименьшее семейство множеств, содержащее и замкнутое относительно , обозначим символом 
. Это семейство состоит из конечных сумм вида 
, где 
, 
и 
- последовательность множеств, принадлежащих , т.е. 
.
Аналогично, если функция 
задаётся равенством 
, то наименьшее семейство, содержащее и замкнутое относительно , обозначим символом 
. Это семейство состоит из произведений вида 
, где , , .
Пример 2. Решеткой множеств, порождённой семейством , назовем наименьшее семейство, содержащее и замкнутое относительно обеих операций , из примера 1.
Теорема 3. Решетка множества, порождённая , совпадает с семейством 
, причем 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем вначале вторую часть теорема, т.е. .
Пусть 
, т.е. 
, где , и 
для 
.
Докажем индукцией по 
, что 
. Для 
имеем 
, а 
, т.к. 
. Предположим, что теорема верна для 
.
Пусть 
- произведение 
, где 
, 
и 
для 
. Обозначим 
. По предположению индукции 
и, значит, 
, где 
, 
и 
для 
.
Т.к. 
, то 
.
Поскольку 
, получаем отсюда, что . Таким образом, 
. Аналогично доказывается обратное включение.
Теперь докажем, что - решетка множеств, порожденная множеством . Ясно, что семейство содержится в этой решетке, т.к. операции сложения и умножения не выводят нас из решетки. С другой стороны,
,
следовательно, семейство замкнуто относительно операций сложения и умножения и потом содержит решетку, порождённую .
§4. 
- аддитивные и - мультипликативные семейства множеств.
Семейство множеств называется - аддитивным (соответственно - мультипликативным), если 
(соответственно 
) для каждой последовательности 
.
Из теоремы 1, теоремы 2 (§3), обобщающих на случай функций, определенных на последовательностях множеств, вытекают следующие две теоремы.
Теорема 1. Для каждого семейства существует наименьшее - аддитивное и - мультипликативное семейство 
, содержащее .
Теорема 2. Для любых семейств , , :
(1)
(2)
(3)
Выполняя операции 
и 
на последовательностях, члены которых принадлежат , мы получаем множества, принадлежащие . Это позволяет произвести классификацию множеств, принадлежащих : для произвольного семейства множеств обозначим через 
семейство множеств вида 
, где , и через 
семейство всех множеств вида 
, где 
. Очевидно, что 
.
Можно определить - аддитивное семейство как такое семейство, для которого 
, а - мультипликативное как такое, для которого . Т.к. семейство и - аддитивно и - мультипликативно, то
,
а т.к. , то справедлива теорема.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 420; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!