ГЛАВА IV. БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В этой главе, как и в предыдущих, мы берем за основу систему аксиом ∑º, причем теоремы не помеченные знаком º, не зависят от аксиом выбора.
Цель настоящей главы – обобщить операции сложения, умножения и декартова умножения на произведение семейства множеств.
Бесконечные суммы и произведения.
Пусть - функция, значениями которой являются подмножества некоторого фиксированного множества , а область её определения – непустое множество . ( )
Тогда . Вместо мы будем писать .
Пусть - множество значений функций , т.е. семейство множеств , когда пробегает все .
Сумма множеств будет обозначать , а произведение - , т.е.
,
Очевидно, что
, (1)
Если состоит только из одного элемента , то
.
Если же состоит из 2х элементов и , то
, .
Таким образом, рассматриваемые здесь понятия обобщают понятия суммы и произведения множеств на случай произвольного семейства слагаемых.
Из (1) вытекают равенства:
(2)
Справедливые для каждой высказывательной функции 2х переменных (с ограниченной областью определения).
В самом деле, полагая , получаем , поэтому:
2-е равенство в (2) доказывается аналогично.
Используя (1) и формулы, характеризующие кванторы, §1 гл.II, получаем следующие законы для обобщённых операций:
(3)
|
|
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
, (9)
(10)
, (11)
, (12)
. (13)
Все эти законы непосредственно следуют из соответствующих законов §1, гл. II. Докажем, например, закон де Моргана (8):
Для доказательства использованы следующие формулы:
(2) §2, гл. I: ,
.
(5) §1, гл. II:
Диаграмма, приведенная в гл.II, §1, позволяет получить дополнительные законы для бесконечных операций. Для этого достаточно знак импликации заменить знаком включения , а функцию заменить функцией 2-х переменных , значениями которой являются множества.
В частности, получаем следующую важную формулу:
(14)
Вообще говоря, знак включения здесь нельзя заменить обратным (см. (18) гл.II, §1).
Теорема 1. Сумма - единственное множество , удовлетворяющее условиям
(15)
(16)
Произведение - единственное множество , удовлетворяющее условиям
(15')
|
|
(16')
Другими словами, сумма является наименьшим множеством, содержащим все множества , а произведение - является наибольшим множеством, содержащимся в каждом из множеств .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3) и (13) следует, что сумма удовлетворяет условиям (15) и (16). Если какое-то множество удовлетворяет этим условиям, то из (15) и (13) непосредственно следует, что . Подставляя в (16) и используя (3), получаем, что .
Но т.к. по условию теоремы должно быть единственным, то .
Доказательство для произведения аналогично.
Теорема 2 (Обобщённые законы ассоциативности). Если , где - функция с областью определения , значениями которой являются множества (т.е. ), то
, (17)
(18)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая и ,
представим (17) в виде:
(19)
Имеем для каждого и, в частности, для каждого , откуда по теореме 1 .
Обратно, пусть для производного . Для каждого существует такое , что , откуда и, значит, . Т.к. это верно для любого , то . Применяя теорему 1 получаем (19). Равенство (18) доказывается аналогично.
Теорема 3 (обобщенные законы коммутативности). Если - перестановка множества , то
(17')
(18')
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем (17'). Пусть . Если , то . А т.к. для . Обратно, если - такое множество, что для всех , то , поскольку . Отсюда , а это и значит, что - наименьшее множество, содержащее все множества , т.е. . Равенство (18') доказывается аналогично.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!