Аналогично для наибольших нижних граней
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, 
и 
для любого 
.
Поэтому 
, откуда следует утверждение теоремы.
Неравенство в теореме 6 нельзя заменить равенством даже в случае полных решеток Брауэра.
Вместе с тем вернее
Теорема 7. Если 
- булево кольцо и существует наименьшая верхняя грань 
, то для произвольного 
существует наименьшая верхняя грань 
и она равна 
. Аналогично для наибольшей нижней грани.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. 
для каждого , то достаточно показать, что если 
, то 
. Из условия следует, что 
, поэтому 
для произвольного . Отсюда 
, следовательно, 
.
Наконец, для булевых колец верна теория де Моргана.
Теорема 8. Если существует наименьшая верхняя грань 
, то существует грань 
и она равна 
. Аналогично для наибольшей нижней грани.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. 
, то, по закону контрапозиции, 
для каждого . Если 
для каждого , то 
, а поэтому 
и 
, откуда 
.
Приведенный выше анализ показывает, что все основные теоремы §1 можно обобщить на случаи полных булевых колец. Для неполных колец эти теоремы верны при условии, что все верхние и нижние грани, встречающиеся в условиях теоремы, существуют. Интересно отметить, что, хотя в законе дистрибутивности не содержится знака дополнения (теорема 7), он выполняется только для булевых колец. Еще более интересно складываются обстоятельства для обобщенного закона дистрибутивности (теорема 4, § 1). Мы покажем, что булевы кольца вида 
являются в принципе единственными булевыми кольцами, для которых этот закон выполняется.
Сначала дадим два определения.
О п р е д е л е н и е 1. Булево кольцо 
называется дистрибутивным, если оно полно и для каждого множества 
, каждой функции 
и каждого разбиения 
на сумму непустых множеств
(1)
где 
(2).
О п р е д е л е н и е 2. Элемент 
называется атомом булева кольца , если , 
и 
. Кольцо называется атомарным, если для каждого элемента 
существует по крайней мере один такой атом 
, что 
.
Теорема 9. Каждое полное и атомарное кольцо изоморфно телу 
всех подмножеств множества 
его атомов, а именно существует такое взаимно однозначное отображение 
множества на , что
(3),
(4)
для любого множества 
и любой функции 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим 
, 
. Эта формула задает функцию, определенную на , значениями которой служат подмножества множества . Очевидно, что 
.
Функция взаимно однозначна. В самом деле, пусть 
и 
- элементы кольца . 
т.к. кольцо атомарно, то существует такой атом , что 
. Из неравенств
1) 
,
2) 
следует, что
1) 
или 2) 
и 3) 
или 4) 
.
Из равенств 1), 3) следует, что 
.
Т.е. 
, что противоречит определению 2.
Равенства 2), 4) дают:
, что противоречит определению 2.
Таким образом, или 1) и 4);
или 2) и 3).
В первом случае ( 1) и 4) ) 
и 
, во втором случае ( 2) и 3) ) и 
.
Значит, или 
,
или 
.
Но в обоих этих случаях 
.
Пусть . Если 
, то существует такое , что 
, откуда 
, а поэтому 
.
Итак, мы доказали, что прямое включение из (3) справедливо:
(5).
Пусть теперь 
, т.е. 
. Если 
для каждого 
, то 
, и, значит : 
, т.к. 
. Но это противоречит тому, что 
. Следовательно, существует такое , что 
, т.е. 
, а поэтому 
.
Итак, обратное включение 
доказано. Оно вместе с (5) дает равенство (3).
Еще проще доказывается равенство (4) 
Осталось показать, что каждое множество 
можно представить в виде 
для некоторого . Положим 
, 
, 
( эта 
- наименьшая верхняя грань существует, т.к. кольцо полно).
Тогда в соответствии с (3) 
, поскольку - единственный атом, содержащийся в 
, а значит, 
.
Теорема 9 доказана полностью.
Теорема 10. Полное атомарное булево кольцо дистрибутивно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 9 , существует функция , изоморфно отображающая на тело подмножеств некоторого множества . По теореме 4 § 1 из формулы (1) настоящего параграфа следует 
, откуда в силу (3) и (4) 
. Т.к. функция взаимно однозначна, то отсюда следует (1).
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 302; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!