ГЛАВА V. ТЕОРИЯ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В этой и всех последующих главах мы будем использовать систему аксиом (§2, глава II) и аксиому VIII, сформулированную в §10, главе II. Как обычно, теоремы, отмеченные знаком , доказываются без аксиомы выбора.
Равномощность множеств. Кардинальные числа.
Введем понятие равномощности множеств, одно из самых интересных и важных понятий теории множеств.
Определение. Два множества и равномощны, если существует взаимно однозначная функция с областью определения и множеством значений . В этом случае пишут и говорят, что устанавливает равномощность множеств и .
Пример 1. Если - конечное множество, то множество равномощно множеству тогда и только тогда, когда имеет столько же элементов, что и . Таким образом, понятие равномощности обобщает на произвольные множества понятие равночисленности конечных множеств.
Пример 2. Пусть - интервал ,
- интервал .
Функция взаимно однозначна и отображает множество на множество , т.е. .
Терема 1. Для произвольных множеств , , .
(I)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномощность множества самому себе устанавливает функция (теорема 4 , §6, глава II).
Если функция устанавливает равномощность множеств и , то функция устанавливает равномощность множеств и (теорема 1 , §6, глава II).
Если функция устанавливает равномощность множеств и , а функция - равномощность множеств и , то суперпозиция устанавливает равномощность множеств и (теорема 2 , §6, глава II).
|
|
Верны следующие формулы:
(2) | |
, | (3) |
(4) | |
(5) | |
(6) | |
(7) | |
(8) | |
(9) | |
(10) |
Мы опускаем доказательства (2-7), т.к. они не сложны (смотреть Е. Смупецкий, Л. Борковский «Элементы математики и теории множеств»). Докажем формулы (8-10).
Пусть , т.е. - функция двух переменных и (первая пробегает множество , вторая – множество ), значения которой принадлежат .
Для каждого фиксированного функция (одной переменной ), определенная равенством , отображает в , т.е. принадлежит множеству . Функция , определенная равенством , ставит в соответствие каждому элемент множества , т.е. .
Если и - две различные функции, принадлежащие множеству , то соответсвующие им функции и также различны. В самом деле, если , то элементы и множества различны.
Каждая функция оказывается сопоставленной описанными выше способами некоторой функции , а именно функции , Определенной равенством , где .
Таким образом, сопоставляя функции функцию , мы устанавливая взаимно однозначное отображение множества на множество , т.е. формула (8) верна.
Чтобы доказать (9), заметим, что если , то для каждого является упорядоченной парой , где , .
|
|
Отсюда следует, что , .
Легко убедиться, что, сопоставляя функциям пары , мы устанавливаем взаимно однозначное отображение множества на множество .
Наконец, чтобы доказать (10), сопоставим каждой функции уорядоченную пару сужений . Легко убедиться, что при этом множество взаимно однозначно отображается на .
Формулы (2) и (8-10) представляют собой частные случаи следующих теорем.
Теорема 2 (закон коммутативности). Пусть . Если - перестановка множества , то (11)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждой функции суперпозицию . Если , то для некоторого . Поэтому, полагая , получаем или .
1) Таким образом, соответствие, установленное равенстом , взаимно однозначно.
2) Функция принадлежит декартову произведению . В самом деле, если , то , т.е. .
3) Наконец, каждую функцию, принадлежащую декартову произведению , можно представить в виде , где . Для этого достаточно взять равной .
Теорема 3 (закон ассоциативности). Пусть . Если и все множества попарно не пересекаются, то
(12)
(13)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . Это множество таких функций с областью определения , что , если . Множество состоит, в свою очередь, из таких функций с областью определения , что , если . Значение функции будем обозначать . Это такая функция с областью определения , что .
|
|
Сопоставим функции функцию , заданную равенством
(*),
где - тот элемент множества , для которого .
Областью определения этой функции служит множество и для каждого . Следовательно, .
1) Отображение, сопоставляющее функциям функции , взаимно однозначно. В самом деле, если , то существует такая , что , и поэтому существует такой элемент , что . Тогда в силу (*) .
2) Осталось показать, что каждая функция сопоставлена некоторой функции . Для этого достаточно заметить, что функция , значение которой в точке равно , принадлежит декартову произведению и удовлетворяет равенству (*).
Для доказательства (13) достаточно в (12) положить для каждого .
Теорема 4 (Закон возведения в степень декартова произведения). Пусть . Тогда для каждого множества
(14).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим на множестве функцию равенством .
Декартово произведение можно представить в виде суммы попарно непересекающихся множеств двумя различными способами :
,
где - множество всех пар со вторым элементом ,
|
|
- множество всех пар с первым элементом .
Например, .
,
Аналогично .
Дважды применяя теорему 3, получим
(15)
(16)
Для имеем и, значит, , откуда :
. Т.к. , то : , .
Из (15) получаем
(17).
Сопоставляя при данном функции функцию , заданную равенством , убеждаемся, что , а в силу (16) :
(18).
Формула (14) непосредственно следует из (17) и (18).
Если множества и равномощны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность, или одно и то же кардинальное число. ( ) .
( - Кантор определял (???) мощность множества как такое его свойство, которое остается после абстрагирования от:
a) качества ??? элементов множества ,
b) от их порядка.
- двойное отрицание подчеркивает этот двойной акт абстрагирования.
Разумеется ???, этим не оправдывается понятие мощности множества или его кардинального числа, а только вводится новый термин для понятия равномощности.
В конечном счете этот термин не обязателен, поскольку теоремы теории множеств можно сформулировать так, чтобы в них шла речь не о свойствах кардинального числа (или мощности), а об отношениях между ними, и эти отношения всегда можно доказать при помощи понятия равномощности.
Однако многие теоремы теории множеств становятся более обозримыми, если они сформулированы как теоремы о кардинальных числах. Это и оправдывает введение в теорию множеств кардинальных чисел.
Легко доказывается
Теорема 5. Для того, чтобы множество и были равномощны, необходимо и достаточно, чтобы реляционные ??? системы и были изоморфны.
Реляционный тип системы будем обозначать символом и называть кардинальным числом или мощностью множества .
Из теоремы 5 и аксиомы VIII (§ 10, глава II) вытекает
Теорема 6. Для произвольных множеств и условия и эквивалентны.
Эта теоремы позволяет представить результаты о равномощности множеств в виде равенств кардинальных чисел.
Счетные множества.
Пусть - конечное множество, содержащее элементов, тогда теорема 6 § 1 выполняется, если положить .
В дальнейшем кардинальное число конечного множества будем отождествлять с числом его элементов.
Таким ообразом, теория мощностей конечных множеств не выводит нас за рамки арифметических натуральных чисел. Новые ситуации возникают только тогда, когда мы переходим к рассмотрению бесконечных множеств.
О п р е д е л е н и е. Множество называется счетным, если оно конечно или равномощно множеству кардинальных чисел.
Очевидно, что любые два бесконечные счетные множества равномощны (смотреть теорему 1, § 1). Кардинальное число бесконечных счетных множеств обозначим через а ( - мощность радя натуральных множеств).
В главе III мы определили последовательность как функцию, областью определения которой служит множество натуральных чисел. Из этого определения следует, что бесконечное множество счетно тогда и только тогда, когда оно служит множеством значений последовательности с попарно различными числами.
Допуская некоторую вольность, можно сказать, что множество счетно, если его элементы можно «расположить» в бесконечную последовательность .
Теорема 1. Каждое непустое счетное множество является множеством значений некоторой бесконечной последовательности. И обратно, множество значений произвольной бесконечной последовательности счетно и непусто.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Конечное множество есть множество значений бесконечной последовательности.
.
Бесконечное счетное множество есть по определению множество значений некоторой бесконечной последовательности.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим множество значений бесконечной последовательности .
Пусть и , где или же , если нет такого , что .
По индукции легко доказать, что для каждого существует такое , что . Отсюда следует, что и, таким образом, все числа последовательности различны. Осталось показать, что каждый элемент множества будет числом последовательности .
Предположим, что множество не является членом последовательности } непусто, и пусть - наименьший его элемент. Очевидно, что .
Если , то - член последовательности , например, . Пусть .
Наименьшее такое число , что , как раз и равно .
По определению последовательности тогда , что противоречит выбору . Теорема доказана.
Аналогично доказывается
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1162; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!