Мощность бесконечных множеств

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

В общем случае, справедливом и для бесконечных множеств, множества A и B является равномощных, или имеют одинаковую мощность, если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, т.е. если существует биекции f: A → B. Равномощных множества обозначаются как A ~ B.

Отношение ривнопотужности есть рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть отношением эквивалентности.

Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью ее собственной подмножества.

Примеры:

Множество натуральных чисел N равномощных множестве S = {1,4,9,16, ...}, состоящая из квадратов натуральных чисел. Необходима биекции устанавливается по закону (n, n ^2), n ∈ N, n ² ∈ S.

Множество Z всех целых чисел равномощных множестве P всех четных чисел. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается следующим образом: (n, 2n), n ∈ Z, 2n ∈ P.

Числа алеф

Мощность множества натуральных чисел N обозначается символом (Алеф-нуль). Последующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначают .

Зличеннисть и конечность множеств

Множество A называется счетное или счетное-бесконечной, если | A | ~ | N |. В этом случае говорят, что элементы такого множества можно занумеровать. Счетное есть множества целых Z, натуральных N и рациональных Q чисел.

Множество, есть конечная, или Счетное, называется не более чем счетное.

Бесконечная подмножество счетное множества является Счетное. Также бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Для бесчисленных множеств, их мощность . То есть, Счетное множество в некотором смысле является "маленькой" из бесконечных множеств. Бесчисленными есть множества действительных R и комплексных C чисел.

Мощность континуума

О множествах, равномощных множестве действительных чисел [или действительных чисел из интервала (0, 1)] говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c. Континуум-гипотеза утверждает, что с = .

Свойства

Две конечные множества равномощных тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
Для бесконечных множеств мощность может совпадать с мощностью своей собственной подмножества, например .

Более того, множество бесконечное тогда и только тогда, когда она содержит равномощных собственную (т.е. такую, которая не совпадает с основной множеством) подмножество.

Теорема Кантора гарантирует существование мощной множества для любой данной: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или .
С помощью кантора квадрата можно доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощных A.
Мощность декартова произведения: