Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками
В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым. Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A={x|x∈N∧-2<x<0}. Это множество задано своим характеристическим свойством, но оно является пустым, так как в нем нет ни одного элемента, удовлетворяющее данному свойству [3]. Или, например, пусть множество В – это множество всех прямоугольников с неравными диагоналями. То, что свойство «быть прямоугольником с неравными диагоналями» задает пустое множество, составляет утверждение геометрической теоремы: «Во всяком прямоугольнике диагонали равны».
Стоит отметить, когда речь идет о двух и более множествах, то между ними могут быть какие-либо отношения или нет. Если множества находятся в каких-либо отношениях, то речь идет или об отношении равенства или отношении включении.
Множество А включается во множество В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначается данное отношение так: A⊂B. Или, по-другому говорят, что множество А является подмножеством множества В.
Множества А и В называются равными, тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А принадлежит множеству В и вместе с этим каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначается данное отношение так: А=В
|
|
|
Например:
1) A={a,b,c,d} и B={b,d}, эти множества находятся в отношении включения B⊂A, т.к. каждый элемент множества В принадлежит множеству А.
2) M={x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)
Рисунок 4 – Числовой промежуток
3) A={x|x∈N∧x:2}={2,4,6,8,10,...} и B={x|x∈N∧x:3}={3,6,9,12,...}, эти два множества не находятся ни в каких отношениях A⊄B, так как во множестве А есть элемент 2, не принадлежащий множеству В
и B⊄A, т.к. во множестве В есть элемент 3, не принадлежащий множеству А.
Следовательно, данные множества не находятся ни в каких отношениях.
III. Операции и свойства операций над множествами
Опр.1.Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств).
A∪B={x|x∈A∨x∈B}
Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно.
|
|
|
А\ В ={x∈A∧x∉B}
Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А.
Выражения с множествами
Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С.
Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать.
Порядок выполнения операций
· если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность;
· если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками.
Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)' .
Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С.
|
|
|
Круги Эйлера
Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником
Задача. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество (А∪В)'∩С.
Решение. Расставим порядок выполнения операций в данном выражении: (А∪В)'∩С. Заштрихуем результаты операций согласно порядку их выполнения
Свойства операции над множествами (рис.5)
Свойства I - 8 и 10 - 80 связаны между собой гак называемым принципом двойственности:
если в любом из двух столбиков свойств поменять знаки ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, то получится другой столбик свойств.
IV. Разбиение множества на классы
Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:
1) пересечение любых двух подмножеств пусто;
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 455; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!