Вопрос 2. Управляемость и наблюдаемость
Понятие управляемости связано, при подаче непрерывного управляющего воздействия 
, с переводом систем из некоторого начального состояния 
в конечное состояние 
за конечное время.
Понятие наблюдаемости связано с оценкой состояния системы в момент времени 
по известным входным и выходным 
воздействиям, приложенным к системе ( 
).
Это первые вопросы, которые следует рассмотреть при проектировании систем, и при их положительных решениях можно приступать к дальнейшим исследованиям. В данном изложении вопросы наблюдаемости и управляемости рассматриваются после исследования систем регулирования.
Отход от общепринятых методик изложения материала объясняется тем, что условия управляемости и наблюдаемости в традиционных учебных курсах вводятся без доказательства, а в данном изложении понятие управляемости и наблюдаемости получено как следствие применения формулы Аккермана.
Управлять системой – это иметь возможность получить заданный переходной процесс, т.е. синтезировать систему на основе требуемого размещения полюсов. Поэтому можно утверждать, что система управляема, когда удается разместить полюсы в заданных точках, т.е. выполнить преобразование матриц по формулам Аккермана
.
Матрица 
определена тогда, когда матрица 
имеет себе обратную, что достигается при выполнении одного из условий:
- определитель этой матрицы не равен нулю;
|
|
|
- ранг этой матрицы должен быть равенn(n- степень характеристического уравнения системы).
MatLabимеет команды, которые определяют ранг матрицы и раскрывают определитель.
Наблюдать систему – это иметь возможность синтезировать наблюдатель на основе размещения полюсов. Поэтому можно утверждать, что система наблюдаема, когда удается разместить полюсы в заданных точках, т.е. выполнить преобразования Аккермана
.
Матрица 
будет определена только тогда, когда матрица
имеет обратную, т.е. её ранг равен 
или её определитель не равен нулю.
Если матрица 
не существует, то объект не управляем, и полюсы замкнутой системы не могут быть размещены в заданных точках. Если матрица не существует, то объект не наблюдаем, и нельзя синтезировать наблюдатель, который оценивал бы все переменные состояния объекта.
Рассмотрим понятия управляемости с позиций классической теории автоматического управления на примере структурной схемы, изображенной на рис.11.5.
Заметим, что полюс датчика совпадает с нулем объекта. Характеристическое уравнение системы имеет вид:
(11.24.)
или
.(11.25.)
Чтобы представить характеристическое уравнение в виде полинома, умножим (11.25.) на знаменатель дроби:
,
или
|
|
|
. (11.26.)
Однако, если в (11.25.) сократить члены 
перед умножением выражения на знаменатель, то характеристическое уравнение примет вид второго сомножителя в (11.26.)
. (11.27.)
Следовательно, мы получили два разных характеристических уравнения, (11.26.) и (11.27.), для одной и той же системы.
Для выражения (11.26.) переходной процесс, определяемый общим решением однородного линейного уравнения, имеет составляющую 
, а в выражении (11.27.) эта составляющая отсутствует. Поэтому на эту составляющую нельзя воздействовать входным сигналом и с помощью регулятора не удается сдвинуть данный корень характеристического уравнения в заданную точку. Это свидетельствует о том, что данная система по этой координате неуправляема.
Предположим, имеется система, заданная уравнениями пространства состояния
.
Сначала произведем анализ управляемости:
и
.
Таким образом, получим
.
Поскольку третий столбец этой матрицы равен второму столбцу с точностью до знака, то определитель матрицы равен нулю и, следовательно, обратной матрицы не существует. Следовательно, система является неуправляемой.
Теперь исследуем наблюдаемость относительно выходной переменной датчика, которая определяется уравнением:
|
|
|
.
Тогда
и
.
Окончательно имеем
.
Определитель этой матрицы равен 25, следовательно, обратная матрица существует, а значит, система является наблюдаемой.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1164; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!