Вычисление длины дуги плоской кривой
1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая 
. Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками 
и 
(рис. 12).
Возьмем на дуге 
точки 
с абсциссами 
и проведем хорды 
, длины которых обозначим соответственно 
. Тогда получим ломанную 
, вписанную в дугу . Длина ломанной равна
.
Определение. Длиной 
дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:
.
Длина всей дуги , заключенной между точками и , вычисляется по формуле
.
Пример 16. Найти длину окружности 
.
Решение. Вычислим сначала длину четверти окружности, расположенной в 1 четверти.
Из уравнения окрежности 
, 
.
Тогда 
.
Длина всей окрежности
Ответ: 
(лин.ед).
Как найти объём тела вращения с помощью интеграла
С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур, но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.
Тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), имеет объём
. (1)
Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат (Oy) криволинейной трапеции выражается формулой
. (2)
При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции - те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.
|
|
|
Пример 1.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, ограниченной гиперболой 
, осью абсцисс и прямыми 
, 
.
Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой 
, а пределы интегрирования a = 1, b = 4:
Пример 2.Найти объём шара радиуса R.
Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде 
, а пределами интегрирования служат -R и R. Следовательно,
Пример 3.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, заключённой между параболами 
и 
.
Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE. Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны 
и 
- абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:
Пример 4.Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга ( 
). Форму тора имеет, например, баранка).
|
|
|
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox(рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.
Уравнение окружности LBCD имеет вид
причём уравнение кривой BCD
а уравнение кривой BLD
Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение
Пример 5.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ординат (Oy) фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси ординат треугольника OBA и криволинейной трапеции OnBA. Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат 
и 
- ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой. Таким образом, получаем объём тела:
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 630; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!