Замена переменной в определенном интеграле



Теорема 2.Пусть функции и φ(t) удовлетворяют условиям:

  1. функция непрерывна на отрезке [a, b];
  2. функция φ(t) и ее производная непрерывны на отрезке причем

3) .

Тогда:

. (*)

Доказательство. Функция непрерывна на [a, b], следовательно, у нее существует первообразная F(x): . Функция непрерывна на , следовательно, имеет первообразную G(t), которая имеет вид G(t)=F(φ(t)), ибо

К определенным интегралам из формулы (*) применим основную формулу интегрального исчисления:

.

Однако, последняя разность в силу условия 3) равна . Это и доказывает формулу (*).

Пример 3.

=

Заметим, что определенный интеграл от единичной функции нет необходимости вычислять по формуле Ньютона–Лейбница: он равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 4.

=

Замечание.При замене переменной в определенном интеграле меняем и пределы интегрирования. Возврат к первоначальной переменной интегрирования не нужен.

 

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые ограничены осью абсцисс (Ox), отрезками прямых x = a, x = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) для значений "икса", принадлежащих отрезку [a, b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Боковые отрезки могут вырождаться в точки.

Площадь s этой криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

(1).

Итак, определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) по [a, b] (график функции расположен выше оси Ox) численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a, b], ограниченной сверху графиком функции y = f(x). В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла. Рисунки таких фигур - в примерах.

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

. (3)

Таким образом, вычисление площадей плоских фигур - одна из важнейших прикладных задач, в которой определённый интеграл находит наиболее плодотворное применение. Все мы изучали сведения из элементарной геометрии, которые позволяют вычислять площади прямолинейных фигур - прямоугольников, треугольников и многоугольников. Что же касается криволинейных фигур, то здесь для нахождения площади средств из элементарной геометрии уже недостаточно. Итак, к делу. Учимся применять то, что изложено в самом верху этой статьи.

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямыми x = 1, x = 3.

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 2.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox).

Решение. По формуле (1) имеем

Если то s = 1/2; если то s = 1/3, и т.д.

Пример 3.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямой x = 4.

Решение. Искомая фигура - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь искомой фигуры в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Таким образом имеем всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5.Найти площадь криволинейной трапеции ACDB, если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

 

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 493; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!