По заданной платежной матрице определить стратегию игрока А, стратегию игрока В и средний выигрыш графо-аналитическим методом.
Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Аi, тогда в наихудшем случае его выигрыш составит min aij, предвидя такой результат игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.
,
где α – гарантированный выигрыш игрока А, который будем называть нижней ценой игры. Такая стратегия называется максиминой.
Игрок В выбирает стратегию, исходя из того, что при выборе некоторой стратегии Вj его проигрыш не превысит максимального из значений элементов столбца матрицы, т.е. меньше или равен max aij. Игрок В естественно выберет такое значение, при котором проигрыш минимизировать.
где β – гарантированный проигрыш игрока В, который будем называть верхней ценой игры. Такая стратегия называется минимаксной.
Определим верхнюю и нижнюю границы цен:
; 
Так как 
, то седловая точка отсутствует. Следовательно, для игроков будет смешанная стратегия.
На основании платежной матрицы А строим графические ограничения. Так как матрица задана 4x2, то есть число столбцов больше, чем число строк, то находим решение для игрока А. Следовательно, строятся прямые соответствующие игроку В и определяется нижняя граница выигрыша, которую обозначим точкой k, которая определяет цену игры и её решение при этом определяются активные стратегии игрока В (соответствующие им прямые пересекаются в точке k).
- цена игры.
В достижении гарантированного выигрыша принимают участие две стратегии игрока В – третья и четвертая. Поэтому в матрице оставляем только их. А вероятности выбора первой и второй стратегий равны нулю.
|
|
|
Оптимальная стратегия игрока В является пересечением 3 и 4 линий:
Оптимальная стратегия игрока А:
Оптимальная стратегия игрока В:
Проверка:
Вывод: игрок А примет стратегии А1 и А2 с вероятность 0,5, т.е. игроку А рекомендуется регулярно менять свое поведение в соответствии с первой и второй стратегиями, при этом средний выигрыш составит 3 единицы. Игрок В примет стратегии В3 и В4 с вероятностями 2/3 и 1/3 соответственно, т.е. игроку В рекомендуется никогда не использовать первую и вторую стратегии и имеется смысл в два раза чаще выбирать третью стратегию, по сравнению с четвертой стратегией, при этом средний проигрыш составит 3 денежных ед.
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!