Распределение Максвела–Больцмана.

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 17Следующая ⇒

Барометрическая формула для центрально-симметричного поля тяготения.Найдем зависимость давления газа в атмосфере планеты от расстояния до центра в пространстве над поверхностью планеты

Барометрическая формула. Здесь M – масса планеты, G – гравитационная постоянная, m – масса отдельной молекулы .Это барометрическая формула для центрально-симметричного поля тяготения для пространства R ≥ R₀.

Барометрическая формула для однородного поля тяготения.У многих планет газовая оболочка очень тонкая. У Земли, например, она не более 4-5% радиуса. Поэтому при малых перепадах высот изменением напряженности поля тяготения можно пренебречь и считать его постоянным. Формула в этом случае упрощается.

Обозначим R = R₀ + h, где h<<R₀. Тогда и . Здесь - ускорение силы тяжести на поверхности планеты.Þ .

Барометрическая формула для однородного поля тяготения

Распределение Больцмана.Если в барометрической формуле перейти от давления к концентрации по формуле Клаузиуса p = nkT, то получаем закон распределения молекул газа по высоте в однородном поле силы тяжести.

или или . В показатель экспоненты входит потенциальная энергия молекул в поле силы тяжести П = mgh. Так что . Распределение Больцмана, 1866.

Распред молекул или каких-то других частиц в потенциальном силовом поле в услов теплового равновесия по величине потенциальной энергии назыв распределением Больцмана. Физическая природа силового поля роли не играет. Важно лишь, чтобы поле было постоянно и консервативно. Поэтому распред вида применимо и к другим объектам природы, например, к эл-м проводимости в металлах.

Функция распределения.Благодаря тому, что молекулы реальн газов имеют конечный объем и потому часто сталк друг с другом, их скорости изменяются. Но оказывается, что в любой момент времени распределение молекул по скоростям, как показывают теория и опыт, вполне опред и единственно возможное.

Задачу о распределении молекул по скоростям можно сформулировать так: какая часть молекул обладает скоростями, лежащими в некотором интервале вблизи заданной скорости.

Рассмотрим газ в некотором объеме, в котором отсутствуют силовые поля. Пусть n – концентрация молекул, то есть число молекул в единице объема, а dn/n – доля тех молекул, скорости которых лежат в интервале значений от u до u + du, где du – ширина интервала скоростей. Очевидно, что чем шире интервал du, тем больше доля молекул, чьи скорости в нем заключены, dn/n ~ du.

Можно предположить, что коэффициент пропорциональности между этими величинами для разных скоростей разный и является функцией скорости u. Тогда соотношение переходит в равенство. dn/n =f(u)du.

Функцию f(u) называют функцией распределения. Ее нашел теоретически Джеймс Максвелл в 1859 г. . Функция распределения, Дж. Максвелл, 1859

Здесь B = m|2kT, A = 4π(m|2πkT)³^|²= 4π(B|π)³^|², где m – масса каждой молекулы, T – абсолютная температура газа, k – постоянная Больцмана. Функция получена методами теории вероятностей на основе гипотезы о равновероятности всех направлений скоростей молекул.

Максвелловское распределение молекул по скоростям является равновесным. Каково бы ни было распределение в начальный момент времени, оно все равно в конечном счете перейдет в максвелловское f(u). Это доказал Больцман в 1871 г.

U_{в -} это скорость, на которую приходится максимум функции распределения f(u).

Опыты Штерна.Прямой проверочный эксперимент поставил впервые Отто Штерн в 1920 г. с помощью атомных пучков.

Два коаксиальных жестко связанных между собой цилиндра радиусами R₁ и R₂ вращались с угловой скоростью ω сначала в одну сторону, затем в другую. Платиновая нить, покрытая серебром и натянут вдоль геометр оси цилиндров, нагревалась до температуры около 1300 K. При этом серебро испарялось. (T_пл серебра 1235 К). Часть испар-ся атомов серебра, пройдя через щель Щ, формировали узкий пучок. Скорость v движения атомов в этом пучке находилась так.

За время движения атомов между цилиндрами t = (R₂ - R₁)/v цилиндры поворачиваются на угол j=wt = w(R₂ - R₁)/v. Атомный осадок на внутренней стенке большого цилиндра смещается относительно центральной проекции щели (точка А) в точки B или C на расстояние a = R₂j= wR₂(R₂ - R₁)/v. Отсюда находится скорость движения атомов в пучке.

. Штерн получил из опытов v » 600 м/с для атомов серебра при температуре нити 1300 К. Это качественно согласуется с распределением Максвелла. Наиболее вероятная скорость для атомов серебра , среднеквадратичная скорость v_кв » 550 м/с. Если учесть, что расстояние a до центра пятна на внутр поверхности большого цилиндра находилось по визуальной плотности осадка, это неплохое соответствие теории эксперименту.

Сравнение осадка в точке A, полученного при покоящихся цилиндрах, с осадками в точках B и C показало, что если края полосы в точке A резко очерчены, а осадок в пределах полосы однородный, то края полос B и C размыты, плотность осадка убывает от середины к краям. Это говорит о том, что скорости атомов в пучке разные.

Недостаток первых опытов Штерна состоял в том, что атомы серебра выходили не из газа, а с поверхности твердого тела. Поэтому они несли информацию о распределении скоростей не в газе, а в твердом теле.

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

Пусть сист переходит из некот начального состояния 1 в конечное состояние 2, такой переход наз-ся прямым.Тогда переход 2-1 – это обра

тный процесс. Будем полагать, что в обр-ом процессе происх-т та же по

след-сть, что и в прямом. Процесс обратим, если сущ-ет обратный по отн-ию к нему и, если последовательное совершение прямого и обр-го процессов не ост-ет никаких следов в окр-их телах. Исходные формул

ировки 2 ТД.Формулировка Клаузиуса: Тепло само сабой переходит только от более нагретых тел к менее нагретым телам.

Формулировка Кельвина: Тепло, отнятое у к-н тела нельзя нацело прев

ратить в работу без всякой компенсации.Эквивалентность форм-к Кель

вина и Клаузиуса. Допустим, что не верна формулировка Клаузиуса. Требуется доказать, что при этом б нарушаться формулировка Кельвина. Допустим, Т₁>Т₂

Можно придумать такую машину, в кот отнятое тепло нацело превращалось в работу.Т₁>Т₂ , A=Q₁-Q₂

Если q=Q, то машина циклически возвр в начальн состоян. Нагреватель отдает тепла Q₁-Q_2.Т о пришли к противоречию с формул-кой Кельв

ина.Допустим неверность формул-ки Кельвина.

Существует такая циклич машина, кот отняв тепло нацело превращает его в работу. Если такая машина есть,то воз-на ситуация, когда от холодного тела к горячему само собой переходит тепло. Нарушена формул-ка Кла

узиуса.

Теорема Карно.

Цикл Карно: Прямой цикл может использоваться для превращения теплоты в работу. Он открывает путь к созданию тепловых машин.Для реализации цикла нужны 3 тела: нагреватель – более нагретое тело, холодильник – менее нагретое тело, рабочее тело – в нашем случае – идеальный газ. Форма циклов может быть какой угодно, лишь бы они были замкнуты.В 1824 г. Сади Карно предложил цикл, составленный из двух изотерм и двух адиабат. Исследование этого цикла позволило выявить в нем замечательные свойства и использовать его позднее как метод изучения термодинамических систем.Пусть рабочим телом являются n молей идеального газа, исходное состояние 1 которого имеет параметры p₁, V₁, T₁ (рис.13).Теплоемкость нагревателя и холодильника полагаем настолько большой, что их температуры при теплообмене с рабочим телом не меняются. Такие тела называют еще термостатами. Температура холодильника T₂ < T₁. Рассмотрим процессы цикла.а. Изотермическое расширение 1®2, T₁ = const. В исходном состоянии 1 рабочее тело (идеальный газ) имеет тепловой контакт с нагревателем. Газ расширяется при T₁ = const, давление падает по изотерме от p₁ до p₂. Подводимая к газу теплота полностью превращается в работу, так как изменение внутренней энергии DU₁_®₂ = 0.б. Адиабатное расширение 2®3, Q₂_®₃ = 0. Рабочее тело теплоизолируется и расширяется от объема V₂ до объема V₃ так, что его температура падает от температуры нагревателя T₁ до температуры холодильника T₂. Работа расширения газа совершается за счет его внутренней энергии. .в. Изотермическое сжатие 3®4, T₂ = const. Газ сжимается внешними телами при температуре холодильника T₂ от объема V₃ до V₄. Работа сжатия выделяется в виде теплоты Q₂ и через тепловой контакт отдается холодильнику. Изменение внутренней энергии DU₃_®₄ = 0. .

г. Адиабатное сжатие 4®1, Q₄_®₁ = 0. Газ теплоизолируется и адиабатно сжимается внешними телами до параметров начального состояния p₁, V₁, T₁. Работа адиабатного сжатия на последнем этапе Суммарная работа цикла A = A₁_®₂ + A₂_®₃ + A₃_®₄ + A₄_®₁ = A₁_®₂ + A₃_®₄

определяется лишь изотермическими процессами. В адиабатических процессах работа одинакова по величине, но противоположна по знаку. Поэтому ее сумма равна нулю. Эффективность функционирования любой тепловой машины определяется коэффициентом полезного действия h, равным отношению работы A к количеству полученной от нагревателя теплоты Q₁

η=A/Q₁=Q₁-Q₂/Q₁ Для машины с ид газом: η=T₁-T₂/T₁.

Q₁-Q₂/Q₁≤ T₁-T₂/T₁ - теорема Карно (= для обрат машин,

<для необрат машин) Полученная формула выражает первую теорему Карно: коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по идеальному циклу Карно, зависит только от температур Т₁ и T₂ нагревателя и холодильника, но не зависит от устройства машины и вида используемого рабочего вещества.

Из теоремы Карно следует, что без перепада температур нельзя теплоту превратить в работу.

КПД идеального цикла Карно является наибольшим из всех реальных и мыслимых процессов. Этот факт составляет содержание 2-й теоремы Карно: коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить коэффициента полезного действия идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами T₁ и T₂ нагревателя и холодильника.

Равенство и неравенство Клаузиуса. Преобразуем выражение КПД идеального цикла Карно.

По предложению Лоренца отношение Q| T называют приведенной тепл

отой.Следовательно,сумма приведенных теплот,кот обменивается с окружающими телами рабочее тело, в идеальном цикле равна нулю.

В реальном цикле к теплоте Q₂, отдаваемой холодильнику, добавляется тепло от работы сил трения, поэтому в целом Q₂| T₂ оказывается больше по модулю члена Q₁| T₁. Поэтому сумма приведенных теплот оказ-ся в целом отрицательной, равенство переходит в неравенство.

При обобщении задачи теплоту Q рассматривают как алгебраическую величину, записывая со знаком «+». Кроме того цикл может состоять из множества процессов, тогда формула записывается так:

. Перейдем к пределу и получим

Энтропия..Рассм произвольный цикл, выделим 2 процесса a и b

Предположим, что цикл является обратимым.

Интеграл от приведенной теплоты не зависит от пути интегри

рования, то подинтегральная функция – полный диференциал некот ф-и состояния системы. dS=dQ/T. Клаузиус предположил, что новая функция состояния – энтропия, может быть определена для люб сист, как равновесных, так и неравновесных.dS≥dQ/T

Записанное соотношение имеет след смысл:

· Сущ для любых систем некот ф-я сост, кот мы называем энтропией.

· Эта ф-я такова, что в равнов процессах ее изменение равно приведенной теплоте.

· В неравнов процессах – измен энтропии больше привед теплоты.

Записанное и есть осн формулировка 2 нач термодинамики, п ч энтропия определена для люб системы, а значит и для люб процессов.

Энтропия изолированной системы не убывает, она м только возрастать, а если система в равновесии, то она остается постоянной.

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 604; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!