Равномерная сх-сть функц-ных послед-стей и рядов (критерий Коши равн-ной сх-ти фу-ных послед-стей и рядов; признак Вейерштрасса рав-ной сх-ти фун-ного ряда).



Функциональная посл-ть f1, f2, f3, …,fn, … - послед-сть функций, иначе говоря отображение из N в F (множество ф-ций).

Опр: Функ-ная послед-ность (fn) сходится в точке x0, если числовая посл-сть (fn(x0)) сходится. Если посл-сть (fn) сходится в каждой точке xÎE, то говорят, что (fn) сходится поточечно на E.

Опр:fn fÛ"xÎEfn(x)®f(x) функциональный ряд Un(x), где Un(x) – это функции.

Опр:Функциональный ряд наз-ся сходящимся в точке x0ÎE, если числовой ряд åUn(x0) сходится. Функциональный ряд наз-ся поточечно сходящимся на E, если для " фиксированного xÎE числовой ряд åUn(x) сходится.

Опр:Посл-сть fnравномерно сходится к fÛ"e>0 $ne : "n>ne и "xÎEôfn(x)-f(x)ô<e.

 Обоз-е fn(x) f(x). Иначе говоря ne зависит только от e и не зависит от x. Опр-ние равеномерной сх-ти функ-льной последо-сти можно переписать в виде: "e>0 $ne : "n>ne ôfn(x)-f(x)ô£e. Иначе говоря fn(x) f(x) Û ôfn(x)-f(x)ô=0 и без предположения об ограниченности всех ф-ций fn(x) и ф-ции f(x).

Опр:   Послед-сть fnназ-ся фундаментальной, если "e>0 $ne : "n>ne и "m>ne имеем <e или можно записать следующим образом :

"e>0 $ne : "n>ne и "p – натурального <e.

Т. (о полноте): Пространство ограниченных ф-ций с равномерной метрикой является полным или иначе говоря, в нем любая фунд-льная посл-сть сходится.

Следствие (критерий Коши): Для того, чтобы послед-ность fn равномерно сходилась на Е, необходимо и достаточно, чтобы fn была фундаментальна.

Док-тво (теоремы о полноте): Пусть посл-сть (fn) – фундаментальная на Е. Зафиксируем произвольное xÎE. Получим числовую посл-сть (fn). Эта числовая посл-сть фундаментальна и Þ она сходится. Т.о. задана функция f. При этом fn f. Из определения фундаментальности получаем:

"e>0 $ne : "n>ne и "p – натурального <e. ôfn+p(x)-fn(x)ô£e"xÎE ôfn+p(x)-fn(x)ô£eÞ"xÎE ôfn+p(x)-fn(x)ô£e, т.е. "xÎE ôfn(x)-f(x)ô£e. Получаем "e>0 $ne : "n > ne"xÎE ôfn(x)-f(x)ô£e. Это означает, что fn(x) f(x). Ч.т.д.

Пусть Un(x) сходится поточечно на Е. Sn(x) = U1(x)+…+ Un(x) – n-ая частичная сумма. Простейший критерий равномерной сх-ти: Sn

ôSn(x)-S(x)ô=0 Û ôSn(x)-( Sn(x)+nS(x))ô=0 Û ônS(x)ô=0 ÛnS 0. Для равномерной сходимости необходимо и достаточно, чтобы посл-сть остатков равномерно сходилась к нулю. Необ-мое условие равн-ной сх-ти: Un(x) ÞUn(x) 0. Дос-ное ус-вие рав-ной сх-ти (признак Вейерштрасса): Дано: 1). Un(x) –функциональный ряд на множестве Е; 2). an – числовой сх-щийся ряд; 3). "xÎE"nôUn(x)ô£an.Тогда данный функциональный ряд Un(x) сходится равномерно на Е.

Док-во: Абсолютная сх-сть очевидна. Рассмотрим = ôSn(x)-S(x)ô= ônS(x)ô£ an+1+an+2+ … = na – остаток числового ряда после n-го члена. Ч.т.д.

Критерий Коши рав-рной сх-ти функц-ного ряда: Un(x) Û"e>0 $ne : "n>ne и "p – нат-ного "xÎEôSn+p(x)- Sn(x)ô<e, ôUn+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)ô<e.   

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 538; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!