Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.



Будем наделять метрическое пространство еще и структурой линейного пространства, полагая для любых  и , что

Легко проверить, что для введенных подобным образом операций сложения элементов и умножения элем-ов на веществ. Числа выполняются все аксиомы линейного пространства. Если то по определению

Теорема1. Пусть функция f(x) имеет в шаре непрерывные частные производные всех порядков до m включительно. Тогда для любой точки найдется число   такое, что справедливо следующее рав-во (фор-ла Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

 а есть дифференциал k-го порядка функции f(x), вычесленный в точке , являющейся однородной формой k-го порядка относитель-но дифференциалов независимых переменных :

Док-во. Если точка , то в силу симметрии шара, и точка . Так как шар есть выпуклое множ-во, то  при любом Поэтому на [-1,1] определена функция одной

переменной: Ф-ция  дифф-руема на отрезке [-1,1]. Действительно применяя правило нахождения производной слоржной ф-ции, получаем  Аналогично

По индукции получаем, что для k=1,..,m справедливы формулы

(**)                  

Применим к ф-ции  формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Существует число  такое, что

Полагая t=1, получаем

Подставляя в эту формулу выражение (**) для производных  при t=0, получаем формулу (*). Чтд.

Следствие. Если выполнены условия теор.1, то для функции f(x) справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Достаточное условие локального экстремума.Экстремум ф-ции многих переменных.

Пусть функция f(x) определена в области  и пусть . Назовем x0 точкой (локального) минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех  выполнено неравенство . Назовем точку x0 точкой строгого минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех   (т.е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено неравенство . Аналогично оп-ределяются точки максимума. Точки максимума и минимума ф-ции наз. точками экстремума.

Теорема2. (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки непрерывные частные производ-ные второго порядка и пусть . Тогда, если второй диф-фернециал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума f(x), если – отри-цательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума f(x), если – неопределенная квадратичная форма, то f(x) не имеет экстремума в точке .

 

Смешанная задача. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.

Будем рассматривать задачу (1) 

 (2) (3) Задача (1)-(3) носит название смешанной задачи. Функции r(x), p(x), q(x), p’(x) определены на отрезке[0,l]. Кроме того r(x)>0, p(x)>0, q(x)³0, a2+b2¹0,g2+d2¹0. Для решения этой задачи отбросим начальное условие (3) и будем искать решение (1) с граничными условиями (2). Такая задача поставлена некорректно, так как имеет бесконечное множество решений. Решение этой задачи будем искать в виде u=T(t)X(x) (4) часто называют методом разделения переменных или методом Фурье. Подставим функцию (4) в уравнение (1), получим , (5) (6) Для того, чтобы функция (4) удовлетворяла (1) необходимо, чтобы функции T и X удовлетворяли соответственно уравнениям (6) и (5). Первое из граничных условий даёт  Отсюда следует (7) Задача состоящая из уравнения (5) и граничных условий (7) носит название Штурма-Лиувилля. Нас будут интересовать решения задачи отличные от нуля. Оказывается, что эти ненулевые решения существуют лишь при некоторых значениях l. Те значения l, при которых задача (5),(7) имеет ненулевые решения называются собственными числами и обозначаются обычно lk, а соответствующие им решения задачи (5), (7) - собственными функциями xk(x). Собственные функции определены неоднозначно, а с точностью до некоторой постоянной. Выберем эту постоянную таким образом, чтобы Такие функции называются нормированными с весом r(x). Допустим, что решая задачу (5),(7) мы определяем собственные числа lk и собственные функции xk. Для определения функции  получим уравнение Которое получается из уравнения (6) заменой  на .  отсюда находим  где - произвольные постоянные. Решениями задачи (1)-(2) будет не одна функция, определённая (4), а множество функций Каждая из этих функций является решением уравнения (1) в силу условия (2). В силу однородности и линейности этих функций сумма этих функций так же решение уравнения (1),(2), т.е.  Вспомним теперь начальное условие (3) и подберём произвольные постоянные  и таким образом, чтобы эти начальные условия выполнялись: - это разложение функции  в ряд по  Умножим обе части последнего равенства на  и проинтегрируем на  получим . Отсюда  Из второго начального условия следует, что  Отсюда Подставляя найденные значения  в ряд для определения функции , получим решение смешанной задачи (1),(2),(3).

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 287; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ