Необходимые условия экстремума фунуций многих переменных.



Пусть функция f(x) определена в области  и пусть . Назовем x0 точкой (локального) минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех  выполнено неравенство . Назовем точку x0 точкой строгого минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех   (т.е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено неравенство .. Аналогично оп-ределяются точки максимума. Точки максимума и минимума ф-ции наз. точками экстремума.

Теорема1. Если в точке экстремума x0 ф-ции f(x) существует частная производная , то она равна нулю.

Док-во. Пусть, например, существует . Рассмотрим ф-цию одной переменной  Так как x0– точка экстремума(пусть например минимума), то сущ-ет шар такой, что для всех точек этого шара. В частности для любого должно быть выполнено равенство  Ф-ция одной переменной  имеет в точке  минимум. Поэтому , т.е. . Чтд.

Теорема2. (неоходимые условия минимума). Пусть ф-ция f(x) имеет в

окрестности точки минимума  непрерывные частные производные первого и второго порядка. Тогда (Аналогично доказывается, что для ф-ции f(x), дважды дифф-мой в окрестности максимума x0, выполняются условия ).

Теорема3. (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки непрерывные частные производ-ные второго порядка и пусть . Тогда, если второй диффернециал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума f(x), если – отрицательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума f(x), если – неопределенная квадратичная форма, то f(x) не имеет экстремума в точке .

 

Гармонические функции и их свойства. Задачи Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для круга.

Ур. Пуассона Δu=g(x), ур. Лапласа: Δu=0 - ур-я эллиптического типа.

Общее решение ур-я Лапласа мы найти не можем, но можно указать сколь угодно много частных решений этого ур-ия. Самые простые:

, , ,  и т.д., некоторые из этих решений явл. гармоническими ф-ми.

 Опр. Ф-ия u(x), x |Rn наз. Гармонической в огранич. обл., если она имеет в этой обл. непрер. Производные второго порядка и удовлетворяет ур-ю Лапласа.

 Опр. Ф-ия u(x) наз. гармонической в неограниченной обл., если если она гармонична в любой подобласти этой области и на бесконечности удовл-ет условию: , n-размерность пр-ва.

 Задача Дирихле:    Г-граница области . Решение задачи Дирихле в ограниченной обл. наз. внутренней зад., в неограниченной – внешней.

 Задача Неймана: N-внешняя нормаль к поверхности Г.

Решение задачи Дирихле для круга.

 Перейдём к полярной системе координат

(1) Ф-ию g( ) разложим в ряд Фурье:

 (2), где           

, .

Решение внутренней зад.(в круге) будем искать в виде ряда:

 (3) – эта ф-ия будет гармонической внутри круга, если положить ,  . Выполнение граничных условий требует, чтобы ряд   совпадал с рядом (2). А это возможно тогда, когда , , , отсюда , .

Т.О. решение внутренней задачи Дирихле даётся рядом: , решение внешней задачи Дирихле даётся рядом: .

Вместо  и  подставим их выражения через интеграл. Сделав преобразования и вычислив полученный интеграл придём к решению исходной задачи:

 - для внутренней задачи Дирихле. И для внешней задачи (вне круга) решение будет, как и для внутреннеё,

 

 

10 Найти все значения , при которых вектор          линейно выражается через векторы

Решение:

Мы должны найти все λ, для которых уравнение  (1)

имеет решение

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

~ ~ ~

При 18-3λ=0, т.е. при λ=6, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и = 3. И при таких λ система, а, значит, уравнение (1), имеет решение. При других λ решений нет.

Ответ: λ = 6

 

10Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки А (1, 3, 5) к прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + 2y + z – 1 = 0, 3x + y +2z – 3 = 0.

Решение:

Проведем плоскость через точку А, перпендикулярную прямой а. Составим уравнение этой плоскости, соединив вместе три уравнения в систему, найдем основание перпендикуляра.

 

Найдем направляющий вектор прямой. В качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей.

Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой, имеет вид: 3x-y-4z+D=0. Поставим в это уравнение координаты точки А: 3-3-20+D=0 ÞD=20. Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 3x-y-4z+20=0. Найдем координаты основания перпендикуляра. Для этого запишем систему

II-III : 2y+6z-23=0 Þ 2y=23-6z Þ y=(23-6z)/2

      2x+23-6z+z-1=0 Þ 2x+22-5z=0 Þ 2x=5z-22 Þ x=(5z-22)/2

 

Значит искомая точка М (-41/26, 5/26, 49/13)

Ответ: М (-41/26, 5/26, 49/13)

 

Билет 11


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 233; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ