Исследовать, являются ли векторы

векторного пространства линейно зависимыми.

Решение:

Пусть

Это приводит к системе:

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, системавекторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и где и – единичные векторы, угол между которыми 60⁰.

Решение:

A a-b Длина

a+b

Ответ: .

Билет 8

Диф-руемость ф-ций нескольких пер-ных (частные произ-дные и диф-алы ф-ций многих пер-ных; необходимые условия диф-мости ф-ций многих переменных; достаточные условия диф-сти).

Опр: Приращением (полным) функции f в т-ке х₀ наз величину

Опр1: Ф-ия f наз диффер-ой в т-ке , если , где (*) , причем это рав-во должно выполн-я "h : x⁽⁰⁾+hÎU(x⁽⁰⁾).

Опр2: Ф-ия f наз диффер-ой в т-ке , если , где r=*

В 1 и 2 опр. O(r)=0 при r=0.

Опр3: Ф-ия f наз диффер-ой в т-ке , если

, где a_k(h)®0 при h®0, k=1,n, a_k(0)=0.

Опр: Если $ конечн , то его наз частной производной ф-ции f в т-ке x⁽⁰⁾ по переем-ой x₁ и обозн-ют

Аналог-но опред-я остальные производные по остальным переменным.

Т. (необх.усл. в т-ке) Если f диф-ма в т-ке x⁽⁰⁾, то она в т-ке x⁽⁰⁾ имеет все частные производные (конечные), причем .

Д-во: Т.к. ф-ия f диф-ема в т-ке x⁽⁰⁾ то

Где . Рассмотр вектор h=(h₁,0,0,…,0)ÎRⁿ. Тогда предыдущее выражение запишется в виде отсюда

. Т.о. док-ли , аналог-но док-ся другие рав-ва.

В случае диф-ти ф-ции диф-л ф-ции запишется в виде .

Часто вместо h₁,…,h_n пишут Dx₁,…,Dx_n, или dx₁,…,dx_n.

Т (дост усл диф в т-ке) пусть ф-ция u=f(x₁,x₂,…,x_n)=f(x) имеет частные производные по всем аргументам в окрестности U(x⁽⁰⁾), причем эти частные производные непрерывны в т-ке x⁽⁰⁾, тогда ф-ия f будет диф-ема в т-ке x⁽⁰⁾.

Д-во: провед-м для ф-ции 2-х перем-ых. Рассмотр u=f(x,y) и т-ку (x₀,y₀), в кот-ой ф-ция u имеет произв-ые и они непрерыв в (x₀,y₀). Рассмотр приращение ф-ии

Выражение I₁ можно рассмат-ть как приращение ф-ции f(x₀,y₀+Dy) по переем-ой x. В силу теоремы Логранжа на отрезке [x₀,x₀+Dx] , 0<q₁<1. Аналог-но выражение I₂ можно рассматр как приращ-ие ф-ции f(x₀,y₀) по переем-ой y на [y₀,y₀+Dy] по той же теореме 0<q₂<1.

Т.к. производные непрерывны в т-ке (x₀,y₀), то

Тогда аналог-но

тогда приращение

, где

и по опр3 ф-ия f диф-ема в т-ке.

Задачи Коши. Метод характеристик. Формула Даламбера.

Задача Коши для волнового ур-я:

Задача Коши для ур-я теплопроводности:

Метод характеристик.

Решим задачу, описывающую колебание струны (зад. Коши для однородн. волн. ур-я): (1)

Найдём общее решение ур-я (2), для этого приведём его к каноническому виду:

Уравнение характеристик имеет вид dx= dt (из ady=(b )dx, где b=0, a=1, c=-a , dy dx, dx dt ), характеристиками будут решения этого ур-я:

x-at=c и x+at=c .

Сделаем замену ξ=x-at, η=x+at, и выразив производные и через ξ и η придём к уравнению =0 (канонический вид ур-я (2)).

Общее решение этого ур-я u=F(ξ)+Φ(η).

Сделав обратную замену получим общее решение ур-я (2): U(t,x)=F(x-at)+Ф(x+at), где F и Ф – любые дифферинц. ф-ции. Подберём эти ф-ии так чтобы выполнялись начальные условия задачи (1).

Продифференцируем первое из ур-ий, умножим на a и сложим со вторым, получим:

2aФ’(x)=ψ(x)+aφ’(x) Ф’(x)= , отсюда

Ф(x)=

F(x)=φ(x)-ψ(x)= .

Тогда u(t,x)= + +

. Сократив и преобразовав, получим решение задачи (1):

u(t,x)= - формула Даламбера

8.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R², заданного в некотором базисе матрицей

Решение:

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 2.

Значит, - собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х = (х₁, х₂) х(А-

Пусть х₂=t →x₁=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8.Вычислите площадь параллелограмма, диагонали которого определяют векторы и , если

Решение: Воспользуемся свойством параллелограмма площадь параллелограмма, построенного на диагоналях, оказывается в 2 раза больше площади исходного параллелограмма, т.е.

Ответ:

Билет 9

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 564; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!