Б) пустого множества и дополнений всевозможных конечных множеств.
Является ли в этих случаях набор τ топологией в R.
Решение: топологией в мн-ве Х наз-ся система подмн-в мн-ва Х τ, для кот-ой вып-ся след. аксиомы: 1) Æ, ХÎ τ; 2) È-ие любого числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ; 3) Ç-ие конечного числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ.
а) ÆÈ{А| А-бескон. мн-во}
1) ÆÍ τ, ХÍ τ, т.к. Х=R-бесконечно
2) ÈАi, где Аi –бескон мн-во, бесконечно
3) Пусть (0;1]бесконечÇ[1;2)бесконеч={1}-конечно, ÞÇ-ие Ï τ
Þ τ не явл-ся топологией
б) ÆÈ{В| R\В-конечно}
1) ÆÍ τ, RÍ τ, т.к. R\R=ÆÍ τ
2) Пусть U=ÈiÎJUi, где R\Ui –конечно, пусть R\U=R\ÈiÎJUi=Çi(R\Ui)кон-конечноÞUÎ τ
3) U=Ç i=1nUiПусть R\U=R\(Ç i=1nUi) =Èi=1n(R\Ui)конечÞ UÎτ
Þ τ- топология.
Билет 6
6Векторное прост-ство над полем, примеры Пусть <A,+> - абелева гр и P – нек поле. Предп, что 
и 
однозн опред-о их произвед 
, тогда гр А назыв лин вект постр-ом над полем Р, если 
и 
вып след рав-ва: 1) 
; 2) 1а=а; 3) 
; 4) 
. Примеры: 1) V3-мн-во всех геом в-в вект-го пр-ва. 2) V2-мн-во всех геом в-в принадл некотор фиксир пл-ти, V1-мн-во всех в-в лежащ на фиксир прям.; 3) М(n,P) – мн-во всех 
матриц с элем в поле Р; 4) Рn – n-я декартова степень поля Р. 5) С[a,b] – мн-во всех действит ф-ий, непрер на [a,b]. 6) P[x]-мн-во всех многочл с коэф поля Р, Pn[x] –мн-во всех тех мн-ов, степ кот не превыш n.7)V={a}-одноэлем-ое мн-во
Пусть V-лин вект пр-во над полем Р, и пусть 
, тогда А назыв подпростр-ом пр-ва V, если: 1) 
2) 
.Пусть V-лин вект пр-во над полем Р, и пусть 
-произвольная сист в-в. Сист в-в назыв лин завис, если найд такие скаляры 
не равные одноврем 0, что 
. Если это рав-во возм лишь в случ когда 
, то сист лин независ.Сист назыв базисом пр-ва V, если 1) эта сист явл сист образ-их для V; 2) эта сист лин независ. Сист назыв сист образующих пр-ва V, если V=L( ), т.е. любой в-р есть лин комбин в-в сист.
|
|
|
Пусть V-лин вект пр-во над полем Р. Если 
в пр-ве V найд сист лин независ в-в, сост-я из n эл-ов, то гов-т, что пр-во V-бесконечно мернои пиш. 
, когда 
-нулев вект пр-во, в нём нет лин завис сист в-в, и поэт V-нульмерное вект пр-во, dimV=0. если в вект пр-ве есть n лин независ в-в, а любая сист содерж n+1 в-рлин завис, то гов V-n-мерное вект пр-во над Р и пишут dim=n.
Пусть V-вект пр-во над пол Р и пусть 
-нек базис пр-ва. Для произ в-ра х найд еголин выр-е ч/з в-ра сист. , получ. 
.Это рав-во назыв разлож в-ра х по вект базиса, при этом скаляры 
назыв коор-ми в-ра х, относ базиса . Теор: Коорд в-ра относит фиксир базиса однозн определены.
Вект пр-во назыв действит, если оно определ над полем действит чисел. Пусть V-действит вект пр-во. Предпол, что кажд паре в-в 
сопост некот действит число, обознач (a,b), прич вып след усл: 1) (a,b)=(b,a); 2) (a+b,c)=(a,c)+(b,c); 3) 
; 4) 
, тогда гов, что в пр-ве V зад скал. произвед. Действит пр-во, в кот введ скал произв назыв Евклидовым пр-ом.
|
|
|
Унитарным пр-ом назыв компл-ое вект пр-во, в кот введено скал умнож в-в.V-произ Евклид пр-во, тогда длиной в-ра 
назыв число 
.
Теор: Для люб 2-х в-в a,b Евклид пр-ва справ нер-во: 
наз нер-ом Коши-Буняк.
Сист в-в назыв ортонормир, если эта сист ортогон и все в-ра сис им одну длину
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 660; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!