На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение для рабочей передаточной функции, удовлетворяющей УФР.

При расчетах используют два вида аппроксимации:

1. Аппроксимация по Тейлору: аппроксимирующая функция совпадает с исходной в одной точке, в остальных монотонно отклоняется не более чем на заданную величину ∆.

2. Аппроксимация по Чебышеву: аппроксимирующая функция колеблется относительно исходной, отклоняясь на заданную величину ∆ в некотором интервале, а в не его резко отклоняется.

При проектировании фильтров по рабочему ослаблению на этапе аппроксимации задают функцию фильтрации. В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров.

Если в качестве функции фильтрации используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широко используются:

Ø фильтры Баттерворта (в качестве функции фильтрации полиномы Баттерворта)

Ø фильтры Чебышева (в качестве функции фильтрации полиномы Чебышева)

Если в качестве функции фильтрации используется дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева-Кауэра, то имеем фильтр Золотарева-Кауэра.

На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины ее элементов.

Технические требования, предъявляемые к фильтрам:

Граничные частоты ПП и ПЗ

2. максимальное допустимое ослабление в ПП (или коэффициент отражения)

 [дБ].

Минимальное допустимое ослабление в ПЗ

4. сопротивление нагрузки

Функция фильтрации

В теории электрических фильтров фильтры описываются передаточной функцией вида:

 (1)

При этом рабочее ослабление при использовании нормированной частоты

 (2)

Здесь  – нормированная частота, а  - нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей выбирают граничную частоту полосы пропускания ω₂.

Функция  называется функцией фильтрации, а  - коэффициентом неравномерности ослабления. В общем случае  - дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами (в частности полином), удовлетворяющая условиям:  в полосе пропускания и  в полосе непропускания фильтра.

В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации используют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Если  - дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева, то получают фильтр Золотарева - Кауэра.

Следует отметить, что есть смысл подробно изучать только ФНЧ, т.к. другие типы фильтров могут быть легко получены из ФНЧ заменой (преобразованием) частоты.

Фильтры Баттерворта

Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (1) и его рабочее ослабление (2), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта , то такие фильтры называются фильтрами Баттерворта.

Из формул (1) и (2) следует, что для фильтров Баттерворта на частоте  значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления – нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (1) и (2) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к фильтру требования, необходимо иметь рабочее ослабление (2) в полосе пропускания меньше ΔА= , а в полосе непропускания большее . Первому условию можно удовлетворить, если потребовать на граничной частоте полосы пропускания ( ) выполнения равенства  или . Отсюда с учетом (1) И (2) имеем , вычисляем коэффициент :   (3),

который называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра. В этой формуле величина  имеет размерность непер. Если воспользоваться значениями  в дБ, то  (4). 0 < ε  Если ε=1, то А_Р=3 дБ.

С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттерворта запишется в виде:

 Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных ЧП, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый фильтр.

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:

, дБ

, Нп Крутизна частотных характеристик зависит от степени n – порядка фильтра. Чем больше степень n, тем выше крутизна характеристики.

 

Таким образом, для удовлетворения требований в полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий порядок фильтра n. Его легко определить из условия: на граничной частоте полосы непропускания Ω₃:

 или . С учетом этого условия получаем: , откуда . Логарифмируя обе части неравенства, придем к окончательному выражению:

 . Здесь Ω₃=ω₃/ω₂ Округление производится в большую сторону до целого числа.

Величина  входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в децибелах, то

  .Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максимально плоским ослаблением в полосе пропускания.

      

где

Корни уравнения , лежащие в левой полуплоскости, принадлежат , являющемуся полиномом Гурвица. Следовательно, функция:  удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Эти корни определяются соотношениями:

    

и позволяют найти искомую передаточную функцию  в виде:

. (3.7)

Рабочее ослабление нетрудно теперь получить через передаточную функцию на основании :

дБ.

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 603; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!