С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
П р и м е р 6.1. На рис.6.1 приведена Т-образная эквивалентная схема обратимого четырехполюсника при синусоидальных напряжениях и токах. Составить уравнения, выражающие линейную зависимость напряжения и тока выходной ветви при указанных на схеме положительных направлениях токов и напряжений. Комплексные сопротивления элементов эквивалентной схемы Z1 =Z2 =(0,6 + j0,8) Ом и Z0 =(120 + j160) Ом.
Р е ш е н и е.Требуемую зависимость выражают уравнения
Комплексные коэффициенты A, B, C и D могут быть определены на основе анализа состояния заданной эквивалентной схемы при разомкнутых и замкнутых накоротко выходных полюсах и соответствующих этим состояниям уравнениям четырехполюсника.
При = 0 (выходные полюсы эквивалентной схемы замещения разомкнуты)
При = 0 (выходные полюсы эквивалентной схемы замещения замкнуты накоротко)
Подставляя комплексные коэффициенты A, B, C и D в уравнение четырехполюсника, получим
П р и м е р 6.2. Для четырехполюсника, эквивалентная схема которого приведена на рис. 6.2 составить уравнения, выражающие зависимость комплексных величин напряжения входной ветви и тока выходной ветви от комплексных величин тока входной ветви и напряжения выходной ветви. Изобразить эквивалентную схему с зависимыми источниками тока напряжения, если Z1 = (4+j3) Ом;
Z0 = 12 Ом; Z2 = 6 Ом.
Р е ш е н и е . Искомую зависимость выражают уравнения четырехполюсника h-типа:
|
|
Коэффициенты h11,h12, h21 и h22 можно определить на основе рассмотрения исходной схемы сначала при разомкнутых первичных полюсах, а затем при короткозамкнутых вторичных с одно- временным анализом уравнений h-типа, соответствующих этим состояниям. При = 0
При = 0
Учитывая найденные коэффициенты, систему уравнений h-типа можно записать в таком виде
Первое уравнение дает основание рассматривать напряжение между входными полюсами как сумму двух частичных напряжений: падения напряжения созданного заданным током на пассивном элементе с сопротивлением h11=(8+j3) Ом и напряжения между полюсами зависимого источника ЭДС, численное значение которой пропорционально заданному выходному напряжению .
В соответствии со вторым уравнением, ток во вторичной цепи можно считать суммой двух частичных токов. Первый ток, создан заданным вторичным напряжением в пассивном элементе с проводимостью h22 = 1/18 См. Второй ток зависимого источника тока с численным значением пропорционален заданному току первичной цепи.
Указанным трактовкам уравнений четырехполюсника h-типа соответствует эквивалентная схема с активными элементами, изображенными на рис 6.2,б.
|
|
П р и м е р 6.3. Параметры r,L,C элементов, изображенных на рис. 6.3 четырехполюсников заданы. Найти их А-параметры при частоте ω = ω0 по предварительно найденным сопротивлениям и проводимостям холостого хода и короткого замыкания.
Р е ш е н и е.Выражения Z1k = B/D, Y1xx = C/A, Z2k = B/A,
Y2xx = C/D, AD – BC = 1 позволяют получить соотношения
, B = Z2kA, D = , C = Y2xxD.
Для нахождения А-параметров несимметричного четырехполюсника достаточно рассчитать три величины из четырех: Z1k, Z2k, Y1xx, Y2xx. Если четырехполюсник симметричный, то учитывая соотношенияZ1k = Z2k, Y1xx = Y2xx, можно ограничиться расчетом двух величин, например, Z2k, Y2xx.
Для варианта (а)находим ,
Для варианта (б)имеем: Z1k = R, B = R, C = 1/jωL, D = 1.
Для варианта (в) получаем
A = 1 – ω2LC, B = jωL(2 – ω2LC), C = jωC, D = A = 1 – ω2LC.
П р и м е р 6.4. При разомкнутых зажимах 2,2’ симметричного четырехполюсника N (рис.6.4) показания приборов на его входе Р1, I1, U1, а при замкнутых на коротко – Р2, I2, U2. Найдите А-параметры четырехполюсника.
Р е ш е н и е. Рассчитывая предварительно величины Y1xx, Z1k с помощью соотношений
где φ1 = arccos , φ2 = arccos , можно найти А-параметры четырехполюсника, используя полученные при решении предыдущего упражнения выражения
|
|
B = Z1kA, C = Y1xxA, D = A.
П р и м е р 6.5. Получите выражение для характеристических параметров Z1C, Z2C, g = α+jβ , изображенного на рис.6.5 фильтра, вычисляя предварительно сопротивления в режиме холостого хода и короткого замыкания. Значение сопротивлений на схеме указаны в омах, емкостей конденсаторов – в микрофарадах, f = 500 Гц.
Р е ш е н и е. Для расчета характеристических параметров используем выражения
Z1C = √Z1xxZ1k, Z2C = √Z2xxZ2k, g = ln( √AD+√BC).
C учетом соотношения последнее выражение можно преобразовать к виду
Для данной цепи получаем Z1xx = 200(1-3,2j) Ом;
Z1к = 200 Ом; Z2xx = –637j Ом; Z2к = 182–57,2j Ом;
Z1С = 296–219j Ом; Z2С = 205–277j Ом; g = 0,4 + 0,4j Ом.
П р и м е р 6.6. Фильтр нижних частот типа k имеет параметры элементов L = 0,1∙10-3 Гн, С = 64∙10-8 Ф. Рассчитайте частоту среза ωс, а также зависимости Zст(ω), Zсп(ω).Постройте зависимости α = α(ω),
β = β(ω) и найдите частоту, при которой : а) коэффициент затухания
α равен 3Дб; б) коэффициент β равен π/4.
Р е ш е н и е. Частота среза равна ωс = 2(LC)-0,5 = 2,5∙105 c-1. Характеристические сопротивления цепи со стороны Т-и П-входов
Зависимости α(ω) и β(ω) изображены на рис.6.6 (принят логарифмический масштаб по оси ω). Затухание равно 3 дБ при частоте
|
|
ω≡2,56∙105с-1, коэффициент фазы равен π/4 при частоте ω≡1,77∙105с-1.
П р и м е р 6.7. Рассчитайте параметры LC-фильтра нижних частот, нагруженного на приемник Rпр =10 Ом и подключенного к источнику с внутренним сопротивлением Rи =10 Ом. Частота среза фильтра ωс=103 с-1.
Р е ш е н и е. Используя соотношения Zc=Rпр= находим L = 0,02 Гн, С = 2 ∙10-4 Ф.
П р и м е р 6.8. Низкочастотный Т- образный фильтр имеет частоту среза 5 кГц. Определить индуктивность фильтра, если емкость
С = 0,1 мкФ.
Р е ш е н и е. Так как частота среза низкочастотного фильтра определяется уравнением , то Гн
Реализуется такой фильтр из 2 индуктивных элементов включенных в продольном направлении величиной L/2 = 20,5 мГн.
П р и м е р 6.9. К началу линии (длиной l ипараметрами γ = α + jβ, Z = zejφ) приложено синусоидальное напряжение u1(t) = Umsinωt. Найдите напряжение u2(t) и ток i2(t) в конце линии, а также ток на входе линии i1(t) при нагрузке линии, равной волновому сопротивлению z-линии. Постройте кривые распределения по линии мгновенных значений напряжения для моментов времени t = 0; π/4ω; π/2ω; π/ω. Как изменятся напряжение и ток в приемнике, если длину линии уменьшить вдвое? Изменятся ли при этом активные мощности: отдаваемая источником и потребляемая приемником?
Р е ш е н и е.Ток на входе линии равен i1(t) = =(Um/z)sin(ωt – φ). Так как сопротивление приемника равно волновому сопротивлению линии, то u2(t) = Umexp(–αl)sin(ω – βl), i2(t) = (Um/z) exp(–αl)sin(ωt – βl – φ).На рис.6.7 показано распределение напряжения вдоль линии в различные моменты времени, построенное в соответствии с выражениями
а)u(0,x) = Umexp(–αx) sin(– βx);
б) u(π/4ω,x) = Umexp(–αx) sin(π/4 – βx);
в)u(π/2ω,x) = Umexp(–αx) sin(π/2 – βx);
г) u(π/ω,x) = Umexp(–αx) sin(π – βx).
При уменьшении длины линии до 0,5l комплексные напряжение и ток в конце линии изменятся в exp(0,5γ)раз:
u2 = Umexp(–0,5γl) sin(ωt – 0,5βl),
i2 = (Um/z)exp(–0,5αl)sin(ωt – 0,5β – φ).
Отдаваемая источником активная мощность при изменении длины линии не изменяется, так как напряжение и ток на ее входе остаются теми же. Активная мощность в нагрузке увеличивается в exp(αl) раз, так как в конце линии амплитуды напряжения и тока возрастают в exp(0,5αl) раз каждая.
П р и м е р 6.10. К короткозамкнутому отрезку линии длиной
l = 1 м с волновым сопротивлением Z = 200 Ом приложено синусоидальное напряжение u(t) = 100sinωt, f = 50МГц. Определите мгновенное значение тока в конце линии, принимая скорость распространения волн в линии равной v = 3∙108 м/с.
Р е ш е н и е. Так как Z – вещественное, то линия является неискажающей. Вследствие заданного условия Zпр = 0 имеем I2 = 2Iφ2 = =2Uφ2/Z, i2(t) = (2Um/Z) sin(ωt– βl), β = ω√L/C = 2πf/v. После подстановки численных значений получаем i2(t) = 1sin(ωt– π/3).
П р и м е р 6.11. Трехфазная линия передачи электроэнергии длиной l=900 км в начальном периоде ее эксплуатации работала при напряжении Uл=400 кВ и частоте f=50 Гц. Первичные параметры линии имеют следующие значения: r0=0,08 Ом/км; L0=1,336 ∙10-3 Г/км; С0 = 8,6∙10-9 Ф/км; потери Р0 в изоляции и на корону составляют 2000 Вт/км на одну фазу.
Определить характеристики линии Z0, θ, α и β, называемые ее вторичными параметрами, а также длину волны λ и фазовую скорость υ.
Р е ш е н и е. Из формулы Р0=U2ф g0 найдем
g0=P0 /U2ф=2000/(400/√3)2∙106=3,75∙10-8 См/км.
Комплексные сопротивления и проводимость на 1 км
Z0 = r0 + jωL0 = 0,427 е j79º13' Ом/км;
Y0= g0+ jωC0=2,7·10-6 е -j90º См/км.
Характеристики линии
Zc=√Z0 / Y0=397 е -j5º23' Ом; γ =√Z0∙Y0=1,073∙10-3 е j84º37' км-1;
α ≈ 8,7∙10-4 дБ/км; β=1,068∙10-3 рад/км;
λ=2π/β=5880 км; υ= λ/f=294000 км/с.
П р и м е р 6.12. По результатам предыдущего примера определить: 1) ток в конце линии; 2) напряжение и ток в начале линии; 3) сдвиг фаз между напряжениями в начале и в конце линии; 4)КПД линии, если в конце линии известны: P2=300 МВт; U2л=√ 3·220 кВ; cos φ2=1.
Р е ш е н и е. Пусть U2 = U2ф = 220кВ, тогдаток при активном сопротивлении нагрузки (cosφ2=1) равен I2=I2=P2/(3U2ф cosφ2)=455А.
Значения гиперболических функций от комплексного аргумента γl = 0,0906+j0,962 можно найти по таблицам, но можно пользоваться формулами
sh γl =0,5∙(eγl-e-γl)=0,5 1,0947 е j55º –0,5∙0,914 е -j55º =0,824е j86º23';
ch γl =1/2(eγl+e-γl)=0,581е j7º22'.
Напряжение и ток найдем по формулам
ch γl+ Zc sh γl=222е j47º30' кВ;
sh γl+ ch γl=548е j63º10' А.
т.е.ток в начале линии опережает по фазе напряжение на угол 15º40'.
Так как =U2, то сдвиг фаз между напряжениями в начале и в конце линии равен 47º30'.
Активная мощность, отдаваемая в линию,
P1=3U1I1 cos φ1=3·222·548 cos (47º30' - 63º10')=352 МВт
и КПД линии η=P2/P1=300/352=0, 853.
П р и м е р 6.13. По данным предыдущего примера определить линейное напряжение в конце линии и ток в начале линии при сбросе всей нагрузки на конце линии и сохранении фазного напряжения, равного U1x = 220 кВ.
Р е ш е н и е. = /ch γl =220/0,58 е j7º22'=382 е j7º22';
U2x.л=√3·382=661,5 кВ
Повышение напряжения в конце линии при холостом ходе в 382/220 = 1,7 раз. Ток в начале линии при холостом ходе
= sh yl=792 е j84º24' А.
Интересно отметить, что ток в начале линии при холостом ходе получился на 45 % больше того же тока в режиме нагрузки:
I1x=
хотя напряжение в начале линии во втором случае (U1x=220 кВ) почти равно напряжению в первом случае (U1=222 кВ).
П р и м е р 6.14.Для некоторой линии длиной 5 км на частоте 100 Гц были приведены опыты по определению ее входного сопротивления при холостом ходе и коротком замыкании на конце линии. Оказалось, что Zвх xx = 535–j64° Ом и Zвх кз = 467,5e–j10°. Требуется найти волновое сопротивление ZC и коэффициент распространении γ этой линии на частоте 1000 Гц.
Р е ш е н и е.Из формулы следует, что при холостом ходе, когда I2 = 0 Zвх ,
При коротком замыкании, когда U2 = 0 Zвх хх = ZC th γ l;
отсюда Ом;
.
Используя преобразования γ=α+jβ,
получим
1/км.
З а д а ч и
1.Заданы коэффициенты симметричного четырехполюсника В = 8 Ом; С = j0,02. Написать выражение мгновенного значения входного тока, если четырехполюсник нагружен на равное характеристическому (Zн = Zс) сопротивление, а комплекс входного напряжения
1. i1 = 13sin(ωt+750) A. 2. i1 = 13√2sin(ωt – 750) A.
3. i1 = 13sin(ωt – 450) A. 4. i1 = 13√2sin(ωt+150) A.
5. i1 = 13sin(ωt – 300) A.
2. Коэффициент затухания одного звена однородной симметричной цепной схемы равен 0,1 Нп. Схема нагружена на сопротивление Zн = Zс и состоит из пяти звеньев. Чему равна мощность, выделяющаяся в нагрузке, если мощность поступающая на вход цепи, составляет 130 Вт?
6. ≈65 Вт. 7. ≈48 Вт. 8. ≈79,3 Вт.
9. ≈106,3 Вт. 10. ≈113,0 Вт.
3.Характеристическое сопротивление низкочастотного фильтра при угловой частоте ω = 100 рад/с равно 80 Ом, частота среза фильтра
fc = 500 кГц. Определить индуктивность L фильтра.
11. L = 51 мкГ. 12. L = 102 мкГ. 13. L = 25 мкГ.
14. L = 0,2 мкГ. 15. L = 10 мкГ.
4. Частота среза фильтра, изображенного на рис., равна 500 кГц.
Определить емкость С фильтра, если известно, что индуктивность L = 200 мГн.
16. С = 260 пФ. 17. С =127 пФ.
18. С = 63,5 пФ. 19. С = 32,5 пФ.
20. С = 48 пФ.
5. Линия с коэффициентом затухания α = 0,025 Нп/км работает в режиме согласованной нагрузки. Длина линии l = 20км. Определить. КПД линии η.
21. η = 0,865. 22. η = 1. 23. η = 0,707.
24. η = 0,368. 25. η = 0,606.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1777; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!