Вопрос 9) Обратная матрица. Теорема об обратной матрице.

Вспомним свойство чисел: .

Аналог существует для матриц.

Опр. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Опр. Матрица А^-1 называется обратной к квадратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

А·А^-1=А^-1·А=Е.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная.

Док-во. Необходимость.

Дано: А^-1. Докажем, что .

Имеем по определению: А·А^-1=А^-1·А=Е. Тогда . Следовательно, и .

Достаточность. Дано: . Докажем, что существует А^-1. Построим ее с помощью следующих действий.

1. Транспонируем матрицу А: А^Т.

2. Заменим каждый элемент матрицы А^Т его алгебраическим дополнением, получим так называемую присоединенную матрицу А^*:

3. Разделим все элементы А^* на :

Покажем, что полученная таким способом матрица является обратной к А.

;

Таким образом, матрица С является единичной матрицей, а значит матрица - обратная к А, ч.т.д.

Аналогично доказывается, что А^-1А=Е.

Единственность.

От противного. Предположим, что у матрицы А есть две различные обратные матрицы А^-1 и . Имеем: А А^-1=Е. Умножим это равенство слева на .

А А^-1= Е,

ЕА^-1= ,

А^-1=А. Получили противоречие, доказывающее теорему.▲

Замечание. Теорема не только решает вопрос о существовании обратной матрицы, но и дает алгоритм ее нахождения:

1. Найти определитель матрицы, убедиться, что она невырожденная.

2. Транспонировать матрицу: .

3. Составить матрицу алгебраических дополнений к А^Т(присоединенную матрицу) А^* .

4. Найти обратную матрицу по формуле .

Существует и другой способ нахождения обратной матрицы, связанный с выполнением над матрицей так называемых элементарных преобразований. К ним относятся:

- умножение любой строки на число, отличное от нуля;

- сложение строк;

- перестановка строк.

Опр. Две матрицы называются эквивалентными, если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице. Применяя ту же последовательность преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной. Обычно элементарные преобразования проводят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой записана данная матрица, а в правой – единичная. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, а в правой автоматически создается обратная матрица.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы