Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения остальных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действующие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от

суммарной массы системы m = ∑ Δ m k, где Δ m k -- масса отдельных точек

механической системы.

124 Лекция 17

Движение системы зависит и от положения центра масс системы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы только при поступательном движении, при котором все точки тела движутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

где m — суммарная масса тела; а_с— ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью ω(рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами Δmk.Каждая точка движется по окружности радиуса rk с касательным ускорением a^t_k = ε r k и нормальным ускорением aⁿ_k = ω² r k , где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю:

момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F"_ин_k равны нулю, т. к. силы пересекают ось z . Силы, направленные по касательной к окружности, равны

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 125

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

них сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [J z]= [mr²] =кг∙м².

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

126 Лекция 17

Примеры решения задач

Пример 1. Автомобиль двигался со скоростью 54 км/ч. В результате резкого торможения автомобиль остановился. Определите время торможения, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами автомобиля 0,36.

Решение

Принимаем автомобиль за материальную точку (рис. 17.8).

1. Считаем, что торможение произошло только за счет трения.
Используем теорему об изменении количества движения. Начальная скорость

54∙1000

vo = ——— = 15 м/с. По теореме изменения количества движения mv — mvo = F_Tt .

3600

Конечная скорость v = 0 (остановка).

2. Тормозная сила F_T = — fR .

R = G = т q ,

здесь R — сила прижатия; f— коэффициент трения; G — сила тяжести; т — масса автомобиля; q — ускорение свободного падения; q = 9,81м/с².

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 127

3. После подстановок получаем формулу для определения времени торможения.

Пример 2. После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой 700 кг имело угловую частоту вращения 300 об/мин. Определите момент трения в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение принять равнопеременным, колесо считать сплошным цилиндром (рис. 17.9).

Решение

1. Запишем уравнение динамики при вращении:

где M∑ — суммарный момент внешних сил; J — момент инерции; ε — угловое ускорение; М_дв — движущий момент; М_тр — момент трения (сил сопротивления).

2. Определим угловое ускорение по формуле для угловой скорости при равно-переменном движении:

128 Лекция 17

Тогда

3. Определим момент инерции колеса, считая его сплошным цилиндром:

4. Определяем величину тормозного момента — момента трения
в подшипниках: М_дв = 0; —М_тр = Jε ;

-М_тр = 87,5(-0,35); М_тр = 30,625 Н∙м.

Пример 3. Шкив приводится во вращение ременной передачей (рис. 17.10). Натяжение ведущей ветви ремня S 1 = 120 Н, ведомой — S 2 = 50 Н. Масса шкива 200 кг, диаметр 80 мм, момент сопротивления в подшипниках 1,2 Н∙м. Определить угловое ускорение вала, пренебрегая его массой. Шкив считать тонкостенным цилиндром.

Решение

1. Используем основное уравнение динамики M∑ = J ε .

2.Определяем суммарный момент внешних cил

3. Рассчитываем момент инерции шкива, влиянием вала пренебрегаем:

4. Определяем угловое ускорение шкива

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 129

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 468; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 18 19 20 21 222324 25 26 27 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!