Основы динамики системы материальных точек



Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь­ных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действу­ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давле­ния, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от

                                                                                       n

суммарной массы системы m = ∑ Δ m k,  где Δ m k   -- масса отдельных точек

                                                                                      0

механической системы.

 

124                                                                        Лекция 17

Движение системы зависит и от положения центра масс си­стемы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь­ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви­жутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

           

где m — суммарная масса тела; ас— ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω(рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо­бьем ее на множество материальных точек с массами Δmk.Каждая точка движется по окружности радиуса rk с касательным ускорени­ем atk = ε r k и нормальным ускорением ank = ω2 r k , где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вра­щения должна быть равна нулю:

               момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F"инk равны нулю, т. к. силы пересекают ось z .  Силы,   направленные   по   касательной  к   окружно­сти,   равны

                                      


             Тема 1.15. Общие теоремы динамики                               125

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

 

них сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [J z]= [mr2] =кг∙м2.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты    инерции    некоторых   тел


126                                                  Лекция 17

   

 

Примеры решения задач

Пример 1. Автомобиль двигался со скоростью 54 км/ч. В ре­зультате резкого торможения автомобиль остановился. Определите время торможения, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами автомобиля 0,36.

Решение

Принимаем автомобиль за материальную точку (рис. 17.8).

1. Считаем, что торможение произошло только за счет трения.
Используем   теорему  об  изменении  количества  движения.  Начальная  скорость

     54∙1000

vo = ——— = 15 м/с. По теореме изменения количества движения mv — mvo = FTt .

         3600

 Конечная скорость v = 0 (остановка).

2. Тормозная сила FT = — fR .  

                                                    R = G = т q ,

здесь R — сила прижатия; f— коэффициент трения; G — сила тяжести; т — масса автомобиля; q — ускорение свободного падения; q = 9,81м/с2.

                                 


                  Тема 1.15. Общие теоремы динамики                                 127

3.  После  подстановок   получаем   формулу  для  определения   вре­мени торможения.                 

Пример 2. После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой 700 кг имело угловую частоту вра­щения 300 об/мин. Определите момент трения в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение принять равнопере­менным, колесо считать сплошным цилиндром (рис. 17.9).       

                                                               

                                              Решение

1. Запишем уравнение динамики при вращении:

                                               

где M∑ — суммарный момент внешних сил; J — момент инерции; ε — угловое ускорение; Мдв — движущий момент; Мтр — момент трения (сил сопротивления).

2. Определим угловое ускорение по формуле для угловой скорости при равно-переменном движении:

       


128                                                                         Лекция 17

   Тогда           

3. Определим момент инерции колеса, считая его сплошным цилиндром:                                            

                             

4. Определяем величину тормозного момента — момента трения
в подшипниках: Мдв = 0; —Мтр = Jε ;

тр = 87,5(-0,35); Мтр = 30,625 Н∙м.

Пример 3. Шкив приводится во вращение ременной передачей (рис. 17.10). Натяжение ведущей ветви ремня S 1 = 120 Н, ведомой — S 2 = 50 Н. Масса шкива 200 кг, диаметр 80 мм, момент сопроти­вления в подшипниках 1,2 Н∙м. Определить угловое ускорение вала, пренебрегая его массой. Шкив считать тонкостенным цилиндром.

                      Решение

1. Используем основное уравнение ди­намики M∑ = J ε .

2.Определяем суммарный момент внешних cил                                            

                      

3. Рассчитываем момент инерции шкива, влиянием вала пренебрегаем:

                

4. Определяем угловое    ускорение    шкива

                             


                Тема 1.15. Общие теоремы динамики                                 129


Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 468; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!