Рекомендуем решить самостоятельно задачи № 1 – 3.

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9

Задача 2. Найти величину и направление градиента функции u = 3x² – 5y + 4z² + xy в точке М₀ (1, 0, -1).

Решение. Как следует из равенства (5.2), координаты вектора есть частные производные функции u в точке М₀, найдем их:

= (6х + у) = 6 + 0 = 6,

= (-5 + x) = -5 + 1 = -4,

= 12 z² = 12 × 1 = 12.

= 6 - 4 + 12 .

Величина градиента равна:

| | = = = = 14.

Найти направление вектора – значит найти его направляющие косинусы. Для вектора градиента будем иметь:

cos a = = ; cos b = = - ; cos g = = .

Задача 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 3 xyz – z³ =8 в точке М₀ (0, 2, -2).

Решение. Поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0.

F (x, y, z) = 3xyz – z³ – 8. Поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке М₀ (x₀, y₀, z₀) имеют вид (5.5 ) и (5.1.6).

Найдем частные производные функции F (x, y, z) в точке М₀:

= 3yz = -12; = 3 xz = 0; = 3xy – 3z² = -12.

Запишем уравнение касательной плоскости:

-12 (х – 0) + 0 (у – 2) – 12 (z + 2) = 0 или

-12 х – 12 z - 24 = 0, т.е. x + z + 2 = 0.

Запишем уравнение нормали:

или .

Задача 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = 2x² + 4y² в точке М₀ (2, 1, 12).

Решение. Поверхность задана в явном виде z = f (x, y), поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке М₀ (x₀, y₀, z₀) имеют вид (5.3) и (5.4).

Найдем частные производные функции в точке М₀

= 4х = 8; = 8y = 8.

Уравнение касательной плоскости:

z – 12 = 8 (x – 2) + 8 (y – 1) или

8х + 8у – z – 16 – 8 + 12 = 0

8x + 8y – z – 12 = 0.

Уравнение нормали:

= = .

Задача 5. К поверхности x² + 2y² + 3z² = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости

х + 4у + 6z = 0.

Решение. Дана плоскость х + 4у + 6z = 0, ее нормальный вектор (1, 4, 6). Из условия параллельности плоскостей имеем, что нормальный вектор искомых плоскостей коллинеарен данному вектору и равен (t, 4t, 6t). Найдем на поверхности точки, в которых нужно провести касательные плоскости.

подставим в уравнение поверхности x² + 2y² + 3z² = 21 и найдем значение параметра t:

+ 2 t² + 3 t² = 21, t² = 21, t² = 4, t = ± 2.

Получаем две точки на поверхности: М₁ (1, 2, 2) и

М₂ (-1,-2,-2). В точке М₁ (1, 2, 2): = 2, = 8, = 12,

и уравнение касательной плоскости запишется так:

2 (x – 1) + 8 (y – 2) + 12 (z – 2) = 0,

2x + 8y + 12z – 42 = 0,

x + 4y + 6z – 21 = 0.

В точке М₂ (-1,-2,-2): = -2, = -8, = -12.

Запишем уравнение касательной плоскости:

-2 (x + 1) - 8 (y + 2) - 12 (z + 2) = 0,

-2x - 8y - 12z – 42 = 0,

x + 4y + 6z + 21 = 0.

Для закрепления данной темы рекомендуем решить задачи № 11 – 17.

Банк задач для самостоятельной работы

Задача 1. Найти в точке (2, 1), если

z = x³ + y³ – 3xy.

Ответ. 9 - 3 .

Задача 2. Найти в точке (5, 3), если z = .

Ответ. - .

Задача 3. Найти в точке (1, 2, 3), если u = xyz.

Ответ. 6 + 3 + 2 .

Задача 4. Найти величину и направление в точке (2, -2, 1), если u = x² + y² + z².

Ответ. | | = 6, cos a = , cos b = - , cos g = .

Задача 5. Найти величину наибольшего подъема поверхности z = x² + 4 y² в точке (2, 1, 8).

Ответ. tg j = 4 .

Задача 6. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = ln (x² + 4y²) в точке (6, 4, ln 100).

Ответ. tg j » 0,34.

Задача 7. Найти производную функции z = x² – xy – 2y² в точке Р (1, 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 60°. Ответ. - .

Задача 8. Найти производную функции

z = x³ – 3x² y + 3x y² + 1 в точке (3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6, 5). Пояснить ответ.

Ответ. 0.

Задача 9. Найти производную функции z = x² + 4 y² в точке (2, 1) в направлении градиента. Сделать чертеж к задаче.

Ответ. 4 .

Задача 10. Найти производную функции z = ln (x + y) в точке (1, 2), принадлежащей параболе у² = 4х, по направлению этой параболы.

Ответ. .

Задача 11. Найти производную функции u = x² y² z² в точке А (1, -1, 3) в направлении, идущем от этой точки к точке В (0, 1, 1).

Ответ. –22.

Задача 12. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали и параболоиду вращения z = x² + y² в точке (1, -2, 5). Сделать чертеж.

Ответ. 2x – 4y – z – 5 = 0,

В задачах 13 – 15 для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках.

13. z = 2x² – 4y² в точке (2, 1, 4).

Ответ. 8x – 8y – z – 4 = 0,

14. z = - xy в точке (3, 4, -7).

Ответ. 17x + 11y + 5z – 60 = 0,

15. x³ + y³ + z³+ xyz – 6 = 0 в точке (1, 2, -1).

Ответ. x + 11y + 5z – 18 = 0,

Задача 16. Показать, что поверхности

x + 2y – ln z + 4 = 0 и x² – xy – 8x + z + 5 = 0

касаются друг друга (т.е. имеют общую касательную плоскость) в точке (2, -3, 1).

Задача 17. К эллипсоиду x² + 2y² + z² = 1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости x – y + 2z = 0.

Ответ. x – y + 2z ± = 0.

Варианты проверочной работы

Дано: функция z = f (x, y), точка А (x₀, y₀) и точка В. Требуется найти: 1) в точке А; 2) производную функции в точке А в направлении, идущем от этой точки к точке В; 3) уравнения касательной плоскости и нормали в точке А.

1) z = 2x² + xy A (-1, 2); B (2, 6).

2) z = x² + xy + y² A (1, 1); B (3, 0).

3) z = ln (x² + xy²) A (1, 2); B (4, -2).

4) z = arctg (xy) A (2, 3); B (6, 6).

5) z = x³y + xy² A (1, 3); B (-4, 15).

6) z = x²y + xy² A (1, 1); B (7, -7).

7) z = 3x⁴ + 2x²y³ A (-1, 2); B (3, -1).

8) z = ln (2x + 3y) A (2, 2); B (-1, 4).

9) z = ln (3x² + 4y²) A (1, 3); B (3, 2).

10) z = ln (5x² + 4y²) A (1, 1); B (3, 0).

Ответы для второго задания:

1) -2; 2) ; 3) ; 4) ; 5) - ; 6) - ; 7) - ;

8) 0; 9) - ; 10) .

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Геометрическим изображением функции двух переменных

z = f (x, y) (6.1)

в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность. Уравнение (6.1) может быть представлено в виде: F (x, y, z) = 0. Если это уравнение является уравнением второй степени, то поверхность, которую оно представляет, называется поверхностью второго порядка. Рассмотрим некоторые из них.

Цилиндрическая поверхность

Пусть L – некоторая линия в пространстве (назовем ее направляющей). Если через каждую точку этой линии провести прямую, параллельную некоторой прямой l (назовем ее образующей), получим цилиндрическую поверхность.

Уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой лежит в плоскости ХОУ, а образующая параллельна оси OZ, имеет вид: F (x, y) = 0. Эта поверхность изображена на рис. 1.

Аналогично уравнения F (x, z) = 0 и F (у, z) = 0 определяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям ОУ и ОХ соответственно.

Примеры канонических уравнений цилиндров второго порядка:

= 1 - эллиптический цилиндр (направляющая –

эллипс с полуосями а и b, образующая параллельна оси OZ) (рис. 2).

= 1 - гиперболический цилиндр (направляющая –

гипербола, образующая параллельна оси ОУ)

(рис. 3).

у² = 2 p z - параболический цилиндр (направляющая –

парабола, образующая параллельна оси ОХ)

(рис. 4).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Эллипсоид

Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид:

+ = 1.

Чтобы изобразить эту поверхность на чертеже, применим “метод сечений”. Линия пересечения эллипсоида с плоскостью ХОУ определяется системой уравнений:

Отсюда видно, что плоскость ХОУ пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а и b (рис. 2). Аналогичная картина получается при пересечении эллипсоида с координатными плоскостями ХОZ и УОZ. Линии пересечения – эллипсы с полуосями а, c и b, с соответственно (рис. 2).

Рис. 2

Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если а = b = c = R, эллипсоид превращается в сферу:

x² + y² + z² = R².

Однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение: - = 1.

Наименование “гиперболоид” происходит от того, что среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Например, линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью УОZ (рис. 3) задается системой уравнений - это гипербола с мнимой осью OZ:

(1)

Рис. 3

Любая плоскость, параллельная плоскости ХОУ, пересекает гиперболоид по эллипсу (рис. 3):

(2)

в частности,

(3)

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, представляемая уравнением

- = -1,

называется двуполостным гиперболоидом. Она состоит из двух обособленных полостей. Действительно, ни одна из плоскостей ХОУ не пересечет поверхности при | z | < c, т.к. при этом система

не имеет решений. При z = + c в сечении – точки, которые называются вершинами двуполостного гиперболоида. При

| z | > c в сечении эллипсы. Размеры их увеличиваются по мере возрастания z (рис. 4)

Рис. 4

Сечения плоскостями XOZ и УOZ, которые представлены системами

являются гиперболами с действительной осью OZ.

Конус второго порядка

Поверхность, представляемая уравнением

- = 0, называется конусом второго порядка.

Линия пересечения плоскости XOZ (у = 0) с поверхностью задается системой:

, которая представляет пару прямых

= 0

= 0, проходящих через начало координат (рис. 5).

Рис. 5

Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не совпадающая с ней), пересекает конус по эллипсу:

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:

z = (р > 0, q > 0)

Сечения поверхности плоскостями ХОZ и УОZ – это параболы х² = 2 р z (y = 0) и y² = 2 q z (x = 0) (рис. 6). Сечения плоскостями, параллельными плоскости ХОУ, задаются системой:

которая не имеет решения при h < 0.

При h = 0 плоскость z = 0 имеет с поверхностью одну общую точку. При h > 0 сечение представляет собой эллипс, размеры которого возрастают с увеличением h (рис. 6).

Рис. 6.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:

z = (р > 0, q > 0).

Сечения плоскостями XOZ и УОZ есть параболы:

(1) x² = 2 p z (y = 0)

(2) y² = -2 q z (x = 0)

Ветви параболы (1) направлены вверх, параболы (2) – вниз. ( Рис. 7). В результате поверхность имеет седлообразный вид.

Рис. 7

Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не совпадающая с ней), пересекает поверхность по гиперболе:

При z = 0 линия пересечения – пара прямых: = 0, т.е.

= 0 и = 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975, гл. 10: Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. – С. 185 – 201, гл. II: Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – С. 202 – 216.

2. Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов / Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. – М.: Наука, 1968, гл. 6: Функции нескольких переменных. – С. 172 – 232.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1962, гл. 6: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. –

С. 288 – 344.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1970 – 1985. Т. 1, гл. УIII. Функции нескольких переменных. – С. 243 – 304.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 2529; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89

Мы поможем в написании ваших работ!